Geometr aAnal tica

Gu´ıa 5a
(Geometr´ıa Anal´ıtica)
Fundamentos de Matem´atica
1er Semestre de 2015
1.- Recta:
i) Encontrar la ecuaci´on de la recta que representa la altura del tri´angulo ABC
donde AB representa la base y A = (−1, 4), B = (1, 2) y C = (3, −2).
Rpta: y = x − 5
ii) Sean l1 , l2 y l3 las rectas que est´an definidas por las ecuaciones:
x+2y = 3, −x+y = 4 y y = 3x−1, respectivamente. Determine laecuaci´on de
la recta que pasa por el punto de intersecci´on entre l1 , l2 y es perpendicular a l3 .
Rpta: x + 3y =

16
3

iii) Determinar la ecuaci´on de la recta que pasa por P = (−2, 3) y es perpendicular a la recta 3x − 2y + 5 = 0.
Rpta: 2x + 3y − 5 = 0
iv) Sean las rectas definidas por R1 : 2x − 3y − 2 = 0, R2 : 3x − 2y + 1 = 0 y
R3 : x + 4y + 3 = 0. ¿Cu´al es la distancia del punto deintersecci´on entre R1
con R2 , con la recta R3 ?
Rpta: ≈ 1.16
v) Hallar la ecuaci´on de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por la intersecci´on entre las rectas y = −2x + 8 e 2y − 3x = 9
Rpta: y = −4x + 10
vi) Encontrar A, B ∈ R de manera que la ecuaci´on de la recta Ay − Bx = 4, pase
por los puntos (−3, 1) y (1, 6).
20
16
y B=
19
19
vii) Encontrar la recta que intersecta a los ejes en los puntos (a,0) y (0, b)
Rpta: A =

Rpta: y =

−b
x + b si a, b = 0; x = 0 si a = 0; y = 0 si b = 0
a
1

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1er Semestre de 2015
viii) Hallar las rectas que tiene pendiente 2 y forman un tri´angulo con los ejes de
a´rea 9[u2 ].
Rpta: Las rectas son y − 2x = 6 e y − 2x = −6
ix) Encontrar las ecuaciones que definen a las dos rectas que pasan por (4, −2) ysu distancia al origen es 2.
Rpta: Las rectas son y = −2 e y = − 43 x + 10
3
x) Encontrar la ecuaci´on que define a todas las rectas que est´an a distancia 4 del
origen.
√
√
Rpta: Las rectas son y = mx + 4 m2 + 1 e y = mx − 4 m2 + 1
xi) ¿Es cierto que la suma de las distancias desde un punto interior a un tri´angulo
equil´atero de lado a cm, a sus tres lados es siempre constante?
Rpta: Si
2.-Circunferencia:
1
i) Considerar la recta y − 2x − c = 0 y la circunferencia x2 + y 2 = . Determinar
4
el valor de c, para que:
a) La recta sea tangente a la circunferencia.
√
√
−
5
Rpta: c = 2 o c = 25
b) La recta no intersecte a la circunferencia. Rpta: c ∈ R −

√ √
− 5
5
2 , 2

ii) Encuentre la ecuaci´on de la recta que es tangente a la circunferencia de ecuaci´on
x2 − 2x = 2y − y 2 en el punto (2,2).
Rpta: x + y − 4 = 0
iii) Determine la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos (0,1), (-1,0)
y (1,0).
Rpta: x2 + y 2 = 1
2

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iv) Encontrar los puntos sobre la circunferencia definida por la ecuaci´on
x2 − 4x + y 2 − 4y + 4 = 0, que se encuentran a la m´ınima y m´axima distancia
del punto:
a) P = (7,2)
Rpta: La m´ınima distancia se encuentra en (4, 2) y es de 3[u].
La m´
axima distancia se encuentra en (0, 2) y es de 7[u].
b) Q = (6, 5)
Rpta: La m´ınima distancia se encuentra en (3.6, 3.2) y es de
3[u]. La m´
axima distancia se encuentra en (0.4, 0.8) y es de 7[u].
v) Sea lT la recta tangente a la circunferencia definida por la ecuaci´on x2 + y 2 +
2ky = 0 y que pasa por (5, 4). Encontrar elvalor de k ∈ R de manera que la
distancia entre el punto (5,4) y el punto de tangencia entre lT y la circunferencia sea igual a 5[u].
Rpta: k debe ser igual a -2
Ayuda: Considere el tri´
angulo rect´
angulo formado entre el centro
de la circunferencia, el punto de tangencia y (5, 4)
vi) Encontrar la ecuaci´on que define a la circunferencia cuyo di´ametro tiene como
extremos a los puntos (0, 2) y(4, 4)
Rpta: x2 − 4x + y 2 − 6y = −8
3.- Par´abola:
i) Graficar y encontrar adem´as v´ertice, foco y directriz en las siguientes ecuaciones:
a) y 2 − 8x − 4y + 4 = 0.
b) x2 = −4x − 3y − 7
c) y 2 + 1 = x
ii) Determinar la ecuaci´on de la recta tangente a la par´abola x2 = −5y en el
punto (5, −5).
Rpta: l : y = −2x + 5
3

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