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Geometría analítica
Como se ha comentado en la introducción histórica a la Geometría, fue Descartes quien inventó la geometría analítica y publicó los fundamentos de la misma en Leuden en 1637, en unos ensayos precedidos de un célebre prólogo "Discurso del método para conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias". En la conclusión del ensayo dedicado a la Geometría, Descartesescribe: "Mi propósito no es escribir un libro grueso y más bien intento abarcar mucho en pocas palabras, como quizá se juzgue que he hecho si se considera que, habiendo reducido a una misma construcción todos los problemas de un mismo género, he proporcionado juntamente el modo de reducirlos a una infinidad de otros diversos y, así, de resolver cada uno de ellos de una infinidad de maneras ... Y confíoen que mis descendientes me agradecerán no solamente las cosas que he explicado aquí sino también las que he omitido voluntariamente, para dejarles el placer de inventarlas".
La geometría analítica nació como consecuencia de los inconvenientes que planteaba la geometría clásica, que llevó a los matemáticos a aplicar al campo geométrico, los automatismos del Álgebra. En su parte esencial, lainvención de la geometría analítica, es decir, del estudio de los conjuntos de puntos mediante los métodos algebraicos, es debida a Descartes y se completa con la parte de la geometría que recurre al análisis denominada geometría diferencial.
Por tanto, diremos que el primer paso para la dilución de la clásica geometría métrica en el seno de esa gran unidad conceptual que vino a ser la matemáticaabstracta de la edad moderna, se dio con la concepción por René Descartes de la Geometría analítica. El fundamento de la geometría analítica es la correspondencia biunívoca entre los elementos o puntos de una recta orientada y los elementos o números del conjunto de los números reales R. En el sistema de Descartes, el número que corresponde a cada punto de la recta es su distancia a un punto origendado de la misma. Tal número se llama la abscisa cartesiana. La misma idea se aplica con facilidad al plano y al espacio.
Es evidente que las coordenadas de un punto pueden ser determinadas mediante cualquier convención que esté de acuerdo con las leyes de la geometría en que nos situamos, las cuales serán siempre dos si hacemos geometría plana euclidiana y tres si hacemos geometría euclidiana delespacio, la elección de estas convecciones dependen de la naturaleza del problema planteado. Por ejemplo, un geómetra que quiere determinar la situación de un punto en la superficie de la Tierra, utilizará dos coordenadas que son la latitud y la longitud. En geometría analítica se ha llegado a definir diversos sistemas de coordenadas que se utilizan según las propiedades que se quiera poner enevidencia. Los más usados son las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares.

Sistemas de coordenadas
1. Coordenadas cartesianas en el plano
Como sistema de referencia tomemos en el plano un par de rectas perpendiculares XX´, YY´ y en cada una de ellas un sistema de abscisas, con origen en el punto de intersección O y la misma unidad de longitud en ambas. Estos son los llamados ejes decoordenadas cartesianas.
El eje XX´ se llama eje de abscisas o también eje X, suele tomarse horizontal y el sentido positivo hacia la derecha.
El eje YY´ se llama eje de ordenadas, o también eje Y. Suele tomarse vertical y el sentido positivo hacia arriba.
Dados unos ejes de coordenadas, sea P un punto del plano. Proyectemos el punto P ortogonalmente sobre los dos ejes y sean P´ y P´´ sus proyecciones,sobre el eje de abscisas y el de coordenadas respectivamente. Se llama abscisa del punto P a la distancia OP´= x y ordenada del punto P a la distancia OP´´= y, ambas con el signo que corresponda. Los dos valores x e y se llaman conjuntamente coordenadas del punto P y se indican entre paréntesis: P(x,y) o bien P= (x,y).
De esta manera se logra una correspondencia biunívoca, ya que a cada punto del...