GEOMETR A I BIMESTRE


TRIÁNGULOS - PROPIEDADES BÁSICAS

DEFINICION
Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.







Elementos : Notación :

Vértices : A, B y C Triángulo : ABC ;
Lados : ∆ABC

REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL TRIÁNGULO.












En la figura se indican las regiones que se han determinado respecto al triángulo ABC.

ÁNGULO DETERMINADORESPECTO AL TRIÁNGULO.










Medida de los ángulos internos : , , .
Medida de los ángulos externos : x, y, z.
Perímetro de la región triangular ABC (2p∆ABC)



Semiperímetro de la región triangular ABC(P∆ABC)



PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO.
TEOREMA 1
En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 180º.








En el ∆ABC, se cumple :  +  +  =180º

TEOREMA 2
En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.










En el ∆ABC, se cumple : x =  + 

TEOREMA
En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores tomados uno por vértice es igual a 360º.









En el ∆ABD, se cumple : x + y + z = 360º


TEOREMA 4
En todo triángulo de unlado es mayor que la longitud se le opone al ángulo de mayor medida y viceversa (propiedad correspondencia).










En el ∆ABC, si : a > b
Entonces:  > 

TEOREMA 5

En todo triángulo de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas (propiedad de existencia).










En el ∆ABC : a > b > c
Se cumple:
b – c < a < b + cPROPIEDADES ADICIONALES
















En la figura se cumple:











En la figura ∆AOB y ∆COD presentan un ángulo interior opuesto por el vértice.

Se cumple:










En la figura se cumple:












p : perímetro de la región ABC


EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcular “x”, si : AD = BD
BE = EC

a) 30º
b) 10º
c) 18º
d) 72º
e) 36º



2. Calcular “x”

a) 110º
b) 130
c) 100
d) 120
e)150

3. Calcular “x”

a) 15º
b) 20º
c) 30º
d) 45º
e) 60º

4. Determinar el menor ángulo interno de un triángulo, sabiendo que las medidas de los ángulos externos forman una progresión aritmética de razón 30º.
a) 15º b) 30º c) 60º
d) 90º e) 120º

5. En un triángulo ABC, isósceles que se muestra (AB = BC) y se sabe que el triángulo PQR es equilátero. Calcular “x”.


a) 50º
b) 55º
c) 60º
d) 65ºe) 70º


2. Si la diferencia de las medidas de 2 ángulos exteriores de un triángulo es igual al complemento de la medida del ángulo interior ubicado en el tercer vértice. Hallar la medida de un ángulo interno del triángulo.
a) 30º b) 45º c) 60º
d) 75º e) 90º

7. Calcular “x”

a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 60º




8. Calcular “x”

a) 90º
b) 60º
c) 45º
d) 20º
e) 10º




9. Calcular “x”

a)170º
b) 150º
c) 115º
d) 120º
e) 100º


10. Calcular “x”.

a) 85º
b) 65º
c) 55º
d) 45º
e) 35º



11. Calcular “xº + yº + zº”

f) 120º
g) 135º
h) 270º
i) 90º
j) 180º
















TAREA DOMICILIARIA

2. En un triángulo ABC, AC = 10. Calcule el mínimo valor entero del perímetro de la región triangular ABC.
a) 5 b) 10 c) 20
d) 21 e) 11

3. En la figura. Calcule (xº - yº)

a) 28º
b) 30º
c) 32º
d)34º
e) 36º

4. El perímetro de un triángulo rectángulo es 36. Calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa.

a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14

5. En un ∆ABC, AB = 9, BC = 12 y m∢BAC + m∢BCA < 90º. Calcular la diferencia de los valores enteros máximo y mínimo que puede tomar .

a) 7 d) 4
b) 6 e) 3
c) 5

6. En el gráfico, AB = BC = CD
Calcule “x”

a) 50º
b) 70º
c) 110º
d)130º
e) 140º






7. En el gráfico calcule “x”

a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 25º
e) 35º

8. En el gráfico, calcule “”

a) 3
b) 1
c) 1/2
d) 1/3
e) 2

9. Dado el triángulo ABC. Calcular “x”; si : AD = 4, BD = 3

a) 14
b) 10
c) 7
d) 4
e) 3

10. Del gráfico, calcule “x + y”. Si la región sombreada tiene perímetro mínimo.











a) º + º d) 360º-(º + º)
b) (º + º) e) 180º -
c) (º + º)...