Geometria Algebraica

La geometría algebraica es una rama de la matemática que, como sugiere su nombre, combina el álgebra abstracta, especialmente el álgebra conmutativa, con la geometría. Se puede comprender como elestudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas. Cuando hay más de una variable, aparecen las consideraciones geométricas que son importantes para entender el fenómeno.Podemos decir que la materia en cuestión comienza cuando abandonamos la mera solución de ecuaciones, y el tema de "entender" todas las soluciones se vuelve tan importante como el de encontrar algunasolución, lo cual lleva a las "aguas más profundas" del mundo de la matemática, tanto conceptual como técnicamente.
En la geometría algebraica clásica, el principal objeto de interés son los conjuntosdonde se anula cierta colección de polinomios, lo que quiere decir, el conjunto de todos los puntos que satisfacen simultáneamente una o más ecuaciones polinomiales. Por ejemplo, la esfera de dosdimensiones en el espacio euclídeo de tres dimensiones R³ se puede definir como el conjunto de todos los puntos (x, y, z) tales que
x2 + y2 + z2 − 1 = 0

Un círculo "inclinado" en R³ puede definirsecomo el conjunto de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen las dos ecuaciones polinomiales siguientes
x2 + y2 + z2 − 1 = 0
x + y + z = 0
Variedades Afines
Comenzamos en primer lugar con un cuerpok. En geometría algebraica clásica, este cuerpo fue siempre C, los números complejos, pero muchos de los resultados son también ciertos si sólo asumimos que k es algebraicamente cerrado. Definimos ,llamado n-espacio afín sobre k, como kn. Esto puede parecer una notación inútil, pero su propósito es olvidar la estructura vectorial que porta kn. Abstractamente hablando, es, de momento, solamenteuna colección de puntos.
Por tanto, en adelante eliminaremos la k en y escribiremos .
Diremos que una función es regular si puede escribirse mediante un polinomio, esto es, si existe un...