Geometria Analítica(Descartes Y Fermat)

RAÍCES HISTÓRICAS Y TRASCENDENCIA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Pedro Miguel González Urbaneja (*)
"Los que buscan el camino recto de la verdad no deben ocuparse de ningún objeto sobre el que no puedan tener una certidumbre semejante a las demostraciones de la Aritmética y de la Geometría". Descartes. Reglas para la dirección del espíritu [R.AT.X.366]. "Todos los problemas de Geometría puedenreducirse fácilmente a términos tales, que no es necesario conocer de antemano más que la longitud de algunas líneas rectas para construirlos". Descartes. La Geometría [G.AT.VI. 369]. "Siempre que en una ecuación final se encuentran dos cantidades incógnitas, se tiene un lugar geométrico, describiendo el extremo de una de ellas una línea recta o curva". Fermat. Ad Locos Planos et Solidos Isagoge[TH.OF.III.85]. "Descartes mediante un nuevo método hizo pasar de las tinieblas a la luz cuanto en las Matemáticas había permanecido inaccesible a los antiguos y todo cuanto los contemporáneos habían sido incapaces de descubrir". Spinoza. Los Principios de la Filosofía cartesiana. "La Geometría analítica, mucho más que cualquiera de sus especulaciones metafísicas, inmortaliza el nombre de Descartes yconstituye el máximo paso hecho en el progreso de las ciencias exactas". J. Stuart Mill (citado por E.Bell en Les grands mathématiciens). La Geometría Analítica es un poderoso instrumento de ataque de los problemas geométricos que utiliza como herramienta básica el Álgebra. La esencia de su aplicación en el plano es el establecimiento de una correspondencia entre los puntos del plano y paresordenados de números reales, es decir, un sistema de coordenadas, lo que posibilita una asociación entre curvas del plano y ecuaciones en dos variables, de modo que cada curva del plano tiene asociada una ecuación f (x,y) = 0 y, recíprocamente, para cada ecuación en dos variables está definida una curva que determina un conjunto de puntos en el plano, siempre respecto de un sistema de coordenadas. LaGeometría Analítica es, pues, una especie de diccionario entre el Álgebra y la Geometría que asocia pares de números a puntos y ecuaciones a curvas. Pero esta asociación va mucho más allá de lo gramatical ya que vincula también las sintaxis del Álgebra y la Geometría, es decir, las relaciones, vínculos y operaciones entre los elementos de ambas. Así para hallar geométricamente la intersección de doscurvas f (x,y) = 0, g (x,y) = 0 (problema geométrico) habría que resolver de forma algebraica el sistema de ecuaciones formado por ambas (problema algebraico). Además, para cada curva f (x,y) = 0, la Geometría Analítica establece también una correspondencia entre las propiedades algebraicas y analíticas de la ecuación f (x,y) = 0 y las propiedades geométricas de la curva asociada. De hecho, estaspropiedades geométricas son el trasunto geométrico de la estructura algebraica de la expresión f (x,y) = 0 y se establecen mediante el cálculo literal que permite el Álgebra. En particular la tarea de probar un teorema o resolver un problema en Geometría se traslada de forma muy eficiente a probarlo o resolverlo en Álgebra utilizando el cálculo analítico.

(*) Catedrático de Matemáticas del IESSant Josep de Calassanç. Barcelona.

Mayo 2007 • 2007ko Maiatza

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SIGMA 30

Pedro Miguel González Urbaneja

Es indiscutible que Fermat y Descartes son los verdaderos artífices de la Geometría Analítica. Descartes publica en 1637 La Geometría [G.AT,VI,367-485](1) junto con La Dióptrica y Los Meteoros como apéndices de su Discurso del Método [DM.AT,VI,1-78] o éste como prólogo deaquellos opúsculos. El mismo año, Fermat envía al Padre Mersenne sus investigaciones de alrededor de 1629 contenidas en la memoria [TH.OF.III.85-101] Introducción a los Lugares Planos y Sólidos (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge). Las obras citadas de Descartes y Fermat contienen los fundamentos de la llamada más tarde Geometría Analítica. Estos matemáticos encontraron un terreno muy abonado por el...