GEOMETRIA ANALICA 2325

RECTAS EN EL ESPACIO



Ejemplo 1.


En cada uno de los siguientes ejercicios, establezca una ecuación para la recta en R2 que pase por los pintos:
P_1 (-2 ,-3 ) , P_2 (3 ,4) c. P_1 (0 ,0 ) , P_2 (-3 ,5)
P_1 (2 ,-5 ) , P_2 (-3 ,4) d. P_1 (-3 ,-5 ) , P_2 (0 ,2)

En cada uno de los siguientes ejercicios, establezca una ecuaciónpara la recta en R2 que contenga a los puntos dados:
P_1 (1 ,1 ) , P_2 (2 ,2) c. P_1 ( 2 ,-4 ) , P_2 (-3 ,-4)
P_1 (1 ,2 ) , P_2 (1 ,3) d. P_1 ( 2 ,-3) , P_2 ( 3 ,-2)
Indique cuál de los siguientes puntos están sobre la recta:
X = 3 + 2t a. ( 1 , 1 , 1 ) b. ( 1 , -1 , 0 )
Y = -2 + 3t (- ∞ < t < ∞ ) c. ( 1, 0 , -2 ) d ( 4 , -1/2 , 5/2 )
Z = 4 - 3t

EJERCICIOS PROPUESTOS


19. Sea L1 la recta dada por: (x- x_1)/a_1 = (y- y_1)/b_1 = (z - z_1)/c_1
Y Sea L2 la recta dada por: (x - x_2)/a_2 = (y- y_2)/b_2 = (z - z_2)/c_2
Demuestre que L1 es ortogonal a L2 si solo si a_1 a_2 = b_1 b_2 = c_1 c_2 = 0
20 Demuestre que las rectas: L_1 ∶(x-3)/2 = (y+1)/4 = (z-2)/(-1) y L_2 ∶ (x-3)/5 = (y+1)/(-2) = (z-3)/2
Son ortogonales
21. Demuestre que las rectas: L_1 ∶ (x -1)/1 = (y+3)/2 = (z+3)/3 y L_2 ∶ (x-3)/3 = (y-1)/6 = (z-8)/9
Son paralelas















Definición de plano
Si N es un vector dado, diferente del vector cero y Po es un punto dado,entonces el conjunto de todos los puntos para los cuales V((P_0 P) ⃗ ) y N son ortogonales define al plano que pasa por Po y tiene a como vector normal
La figura muestra una porción de plano (visto en perspectiva) que pasa por P_0 (x_0 ,y_0 ,z_0 ) y la representación del vector N cuyo punto inicial es Po
Así como en geometría plana se puede obtener la ecuación de una recta si seconoce un punto de la recta y su dirección (pendiente). De manera análoga, en geometría analítica solida puede determinarse una ecuación de un plano conociendo un punto del plano y la dirección de un vector normal.

Teorema
Si P_0 (x_0 ,y_0 ,z_0 ) es un vector del plano y 〈 a ,b ,c 〉 es un vector normal al plano, entonces la ecuación del plano es:
a( x- x_0 )+b( y- y_0 )+c( z- z_0 )=0Teorema
Si a , b y c son no ceros a la vez, la gráfica de la ecuación de la forma
ax + by + cz + d = 0
es un plano y ( a , b , c ) es un vector normal al plano
Dibujo de un plano
No es difícil dibujar un plano
Caso I. el plano es paralelo a un plano coordenado
x = a (plano paralelo al plano yz)
y = b (plano paralelo al plano xz)
z = c (plano paralelo al plano xy)cada plano se dibuja como un paralelogramo con lados paralelos a los otros dos ejes coordenados



Caso II. El plano interseca a cada eje coordenado ax + by + cz = d con abc ≠ 0
Cruce con el eje x ( d/a ,0 ,0 )
Cruce con el eje y ( 0 ,d/b ,0 )
Cruce con el eje x (0 ,0 ,d/c )
Paso 1. Grafique los tres puntos de cruce
Paso 2. Una los tres punto decruce para formar un triangulo
Paso 3. Dibujando dos líneas paralelas dibuje un paralelogramo cuya diagonal es el tercer lado del triángulo.
Paso 4. Extienda el paralelogramo dibujando cuatro líneas paralelas
Este proceso se ilustra con la gráfica del plano x + 2y + 3z - 6 = 0


Angulo entre dos planos
Definición. El ángulo entre dos planos se define como el ángulo los vectoresnormales a los planos.
Existen dos ángulos entre dos planos. Si uno de estos ángulos es Ɵ entonces el otro es suplemento de Ɵ
Asi: si P1: a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 y P2: a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0
θ= 〖Cos〗^(-1) [(N_1 .N_2)/(‖N_1 ‖ ‖N_2 ‖ )] θ= 〖Cos〗^(-1) [((a_1+b_1+c_1 ) .(a_2+b_2+c_2 ))/(√(a_1^2+b_1^2+c_1^2 ) .√(a_2^2+b_2^2+c_2^2 ))]

Ejemplo....