Geometria Analitic

IN1002C - Cálculo 1
Carreras: Ingeniería Civil Eléctrica

Ricardo Monge (UCSC)

Cálculo 1

April 2, 2012

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Cónicas
Cónica
Sean L y F una recta y un punto del plano tales que F ∈ L. Sea e un
/
número positivo.
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que
su distancia a F es e-veces su distancia a la recta L. Es decir:
P ∈ Cónica ⇐⇒ d (P , F ) = e· d (P , L),

e>0

F se llama foco de la cónica.
L se llama directriz de la cónica.
e se llama excentricidad de la cónica.

Clasificación
Si e < 1 la cónica se llama Elipse.
Si e = 1 la cónica se llama Parábola.
Si e > 1 la cónica se llama Hipérbola.
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La ecuación de la parábola

Una parábola corresponde al caso e = 1.
Laecuación de la parábola con foco en F (0, p ) donde p = 0 y con
directriz y = −p es
y=

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12
x
4p

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Gráfico de la parábola

Figure: Gráfico parábola (p > 0)

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Cambio de coordenadas mediante traslación paralela
de ejes
Sean S = {OXY } y S ′ = {O ′ X ′ Y ′ } dossistemas de coordenadas de
tal modo que los ejes OX y O ′ X ′ son paralelos y tienen el mismo
sentido, lo mismos que los ejes OY y O ′ Y ′ . El origen O ′ tiene
coordenadas (x0 , y0 ) en S como muestra la figura. En este caso
diremos que el sistema S ′ es una traslación paralela del sistema S .

Figure: Traslación de sistema de coordenadas
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Cambio de coordenadas mediante traslación paralela
de ejes
Un punto P del plano tendrá coordenadas (x , y ) con respecto a S y
coordenadas (x ′ , y ′ ) con serpecto a S ′

De un análisis sencillo se puede apreciar que:
x

= x ′ + x0

y

= y ′ + y0

o bien
x ′ = x ′ − x0

y ′ = y − y0

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Cambio decoordenadas mediante traslación paralela
de ejes
Ejemplos
1

2

3

L : y = mx es una recta de pendiente m que pasa por el origen y
L : (y − y0 ) = m(x − x0 ) es una recta de la misma pendiente que
pasa por el punto (x0 , y0 ).
C : x 2 + y 2 = r 2 es una circunferencia de radio r centrada en el
origen y C ′ : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 también corresponde a
una circunferencia de radio r ,pero centrada en (x0 , y0 ).
P :y =

12
4p x

es una parábola de eje vertical en el origen y

P ′ : y − y0 = 41 (x − x0 )2 es otra parábola de eje vertical con
p
vértice en el punto (x0 , y0 ). En este caso, el foco de la parábola
tiene coordenadas (x0 , y0 + p ) y la directriz tiene ecuación
y = y0 − p .
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ParábolaGeneral

Teorema
La ecuación y = ax 2 + bx + c , con a = 0 representa una parábola de
−b 1 − ∆
−1 − ∆
, con foco F
,
y
eje vertical con directriz L : y =
4a
2a
4a
−b −∆
vértice V =
,
, donde ∆ = b 2 − 4ac .
2a 4a

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Elipse
La elipse corresponde al caso e < 1.
La ecuación de la elipse con foco F (f , 0) y directrizvertical de
ecuación d , donde f = d es,

Ecuación general de la elipse:
x2 y2
+ 2 =1
a2
b
donde
f = e2 d = ae
a
d=
e
√
a√
a2 − b 2
2=
= 1−e ⇒e =
.
b
a
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Ecuación de la elipse

En consecuencia:
x2 y2
+ 2 =1
a2
b

con a > b

corresponde siempre a una elipse con:
Excentricidad: e =

√

a2 − b 2
a

Foco: F(ae, 0)
Directriz: L : x =

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a
e

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Gráfico de la elipse

Figure: Gráfico de la elipse

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Propiedad importante

Figure: Propiedad de la Elipse: d (P , F ) + d (P , F ′ ) = 2a

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Propiedad...