Geometria Analitica Conceptos Basicos

GEOMETRÍA ANALÍTICA
CONCEPTOS BÁSICOS: 1. Distancia entre dos puntos DEFINICIÓN: En geometría se define la distancia entre dos puntos como la longitud del segmento de recta que une a estos dos puntos. Esto nos hace recordar un postulado Euclideano muy importante: “La distancia más corta entre dos puntos es la recta que los une” Para poder calcular la distancia entre dos puntos, vamos a echarmano de la trigonometría que estudiamos recientemente. Observa la siguiente figura:

B(x2,y2)

y2 y1

d y2 – y1 x2 – x1

A(x1,y1)

x1 x2 Por medio del teorema de Pitágoras se cumple que d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) la cual es la fórmula analítica de calcular la distancia entre dos puntos.
2 2

2. Punto medio de un segmento. Como el mismo nombre lo indica, es el punto que divide alsegmento en dos partes iguales. Para calcular las coordenadas del punto medio de cualquier segmento, se promedian las coordenadas de los extremos.

B ( x2, y2 )

 x + x2 y1 + y 2  PM  1 ,  2  2 

A ( x1 , y1 ) Elaborado por: IQI. Juan Trejo Peña LE. Enrique Rodríguez Tut

3. Pendiente de una recta
Considera el siguiente problema. Dos caminantes se encuentran deambulando y cuando lleganal pie de una montaña, deciden separarse sin cambiar de sentido en su andar. Cuando el que siguió sobre el suelo nivelado ha avanzado 300 metros, su compañero, quien subió por la montaña, ha alcanzado una altura de 200 metros. Calcula la pendiente de la ladera de la montaña.

200 m.

300 m
Analizando este sencillo problema, notamos que para calcular la inclinación del terreno (lo cual tambiénse llama pendiente del terreno) se aplicó la función tangente. Pues bien, cuando consideramos solamente líneas rectas, vemos que se forma un triángulo rectángulo y el ángulo de inclinación de la montaña varía de acuerdo con las medidas de los catetos. Lo anterior nos conduce a una definición más forma y analítica de la pendiente de una recta:

La pendiente de una recta es la tangentetrigonométrica del ángulo de inclinación de dicha recta. Retomemos la figura que nos sirvió para obtener la fórmula de la distancia entre dos puntos

B(x2,y2)
d y2 – y1

y2
A(x1,y1)

y1 x1

x2 – x1

x2 Si aplicamos la función tangente veremos que el planteamiento quedaría así:

m =

y 2 − y1 x 2 − x1

donde m es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta

2EJERCICIOS RESUELTOS 1.-En un sistema de coordenadas cartesianas, situar los siguientes puntos y calcular sus distancias respectivas a) A(3,7) y B(17,–5) b) C(O,–9) y D(9,0) c) E(–2,2) y F(–11,7) d) G(–4,–6) y H(–2,–I) Solución:
F Y 8 7 6 A

-X

5 4 3 E 2 1 D -9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 -2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 H -2 -3 -4 -5 G -6 -7 -8 C

X

B

-Y

DAB= DCD = DEF= DGH=

(17 − 3 ) 2 + ( − 5 −7 )

2

=

196 + 144

=

340

= 18 . 43

(9 − 0 ) + (0 + 9 )
2

2

=
2

81 + 81 =
=

162 = 12 . 73
106 = 10 . 30

( − 11 + 2 )

2

+ (7 − 2 )

81 + 25 =

(−2 + 4) 2 + (−1 + 6) 2 =

4 + 25 =

29 = 5 . 39

2.- Encuentre el perímetro del triángulo cuyos vértices son A(0,0), B(–I,–5) y C(–,2) Solución:
Y 8
7 6 5 4 3 C 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 -2 –1 A1 2 3 45 6 7 8 9 10 -2 -3 -4 B-5 -6 -7 -8

-X

X

-Y DAB= DAC=
1 + 25 =
36 + 4 =

26 = 5 . 1
40 = 6 . 32

DBC= 25 + 49 =

74 = 8 .60

Perímetro = 5.1+6.32+8.60= 20.02

3

3.- Demuestre que el triángulo cuyos vértices son A(0,0), B(–I,–5) y C(–6,–4) es isósceles. Solución: Y 8
7 6 5 4 3 2 A 1 -9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 -2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -3 C -4 B -5 -6

-X

X

DBC
1 +25

=
=

D AB
1 + 25
26 = 26

el Triángulo es Isósceles

4.- Hallar el punto medio del segmento cuyos extremos son (–2,1) y (4,2) Solución: Y 8
7 6
5 4 3 2 B A 1 -9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 -2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

-X

X

xm = -2+4 / 2 = 1

-Y , ym = 1+2 /2 = 3/2

Pm= ( 1, 3/2 )

5.- El punto (2,6) es un extremo del segmento cuyo punto medio es (3,3)....