Geometria Analitica Kindle

DE
r”

GEOMETRIA ANALITICA
Plana y del Espacio
JOSEPH H . KINDLE, Pti. D.
-

Professor o Mathematics f University o Cincinnati f

YXI

TRADUrClON Y ADAPTACION

LUIS GUTIÉRREZ DíEz
Ing( x 2 - x3)

- f(Y1 i .VA

(y2

- ,y,)

- x2.vi

- X3y2).

Este resultado se puede expresar de otra manera, más fácil de recordar, teniendo en cuenta la notación de determinante:
XI
.VI1

A

-

2

.y2
,y3

y2 1
Y3

1

Otra forma de expresar el área de u n triángulo, m u y útil cuando se trate de hallar áreas de polígonos de más de tres lados, es la siguiente:

Obsérvese que se ha repetido la primera fila en la cuarta.

PROBLEMAS RESUELTOS
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
1.

Hallar la distancia entre a ) (-2, 3 ) y ( 5 , I ) , h ) (6, - 1 ) __ - - ~ +( = ~ (5 2)’ + ( I a ) d = v ‘ ( x ~ - - . Y ~ ) ~y Z - y , ) 2
I

y (-4, -3).
-_--

- - - ~ ~ --__

h) d

~ ( x Z

- xi)’

+ ( y , - yi)’ = v‘(-4

___

-

-

+

-3)2=

.\/49

+ 4 = 2/93
Yt

_

2 6 ) ’ +"= 6.

Pasando u n radical al segundo miembro.

fi-

i ( ~ - 4 ) ~6 i

-

d(r- I)' t (y + 47.
16
--

+

Elevando al cuadrado. I t y2 8y 16.

+ +

i2--2~ t 1 3-y2 - 8y

+

36

+ 12\/(x

- I)' + ( y

+ 4)2 + x2--2x

-

Simplificando, 4y t 9 Simplificando, 9 r 2 --

--

-3v'(x

-

Elevando al cuadrado, 16y2

+ 72y + 81 = 9x2 - 18n i-9 + 9y2 + 72y + 144. 7y2 - 18x + 72 = O, ecuación de una hipérbola.

+ (y + 412.

PROBLEMAS PROPUESTOS
LUGAR GEOMETRIC0 DE U N A ECUACION.

Trazar la gráfica de las ecuaciones 1
I1..\,+2u-y4

-

18.
10. .y = X( x 2) (X -- 3) 11. (x' 2xy - 24)' ( 2 ~ '-t y' - 33)' = O

I

I"<

2. 3. 4. 5.
7. 9.

3 -0 , 4 6 - 9y2 $- 36 = O .t2 T -v* - 8x 4y - 29 = O 2x2 + 3y2 - I8 = o 3x2 + 5y' = o

+

12. 13.

+ + + y2y + 4y - 8 O x2y2 + 4 ~ - 9y' = O '
= L

14. .Y' $ - y Z + 4 x - 6 y + 1 7 - 0 15. 2x2 + y' - 2yzi x2i - 54 - 17i = O

+

(XY

- 6)'

+ (x' + 3xy+ y' + 5 ) = O

y2 =

x(x-- 2 ) ( x

+ 3)
Sol. (2, 4), (-I,

16. Y(X 4-2 ) (X - 4) - 8 = 0 17. X' t X,V - 2 y - 3x -t3y = o 18. (9 y) - yi = ( 5 - 2 x ) 3( I ---

+

- x) i

Representar los siguientes pares de ecuaciones y reeolver gráficamente el Sistema que forman. Comprobar algebraicamente los resultados.
19. y
= x2,

x -y

+ 2 = o.

1 ).

20

F-CüAC I O N t S Y 1 U< r A K € S GLOML.1 RICOS
--

20. 4y - xz

o,
--

Yzy

t

4y y-2\

x
-

o.
12
1
6
O.

Sol
O.

(2, I ) , (-2,

I ), lac otras son imaginarias.

21. x z i y * - 2 0 22. y * - 2 Y - 5 23. y 2 - 4 x - 24.2\Lty' 25. 2x226. \"y*+
9

o,
O,
O,

Sol. ( 2 , 7 4), ( - 4 .

' 2).
t

312-2y2tL i

o
O

SO/ (2,7,
Sol Sol
(

t

3,2). (--1.4,

1,5)

2y

2,I ) , (

2 , I ), (4, -5L (O, 3).

6

O,

\'--y2-4
O,
lL

Imaginaria\
(2, I), ( 2,

5 r y 1 2js2
\-y

xL

yL

5

O 0

Jol

I ) , ( I , 2),

(

- I , -2).

O,

2 \ i - 3\ i 6~

Sol

(3,

4), ( - 2 3, - l , 3 ) , ( 3 , 3 ) , (O, O).

ECUtiCION DE U N LUGAR GEOMETRIC0

27. Hallar la ecuación de la recta
a ) Situada 3 unidades a la derecha del eje h )Situada 5 unidades por debajo del ejc
c)
17.

Sol.

Y

-3

--

1.
-

Sol. y

+
-

5

-

o o
O

Paralela al eje

1%y

a 7 unidades del punto (

2, 2).
-

Sol.

\

-5

O,

x

t

9
-Y

o.

d ) Situada 8 unidades a la iLquierda de la recta x

-2.

Sol.

t IO
-

e)
/)

Paralela al eje x y rnediatrii del segmento determinado por (2, 3) y (2,--7).
Sol. y i 2

o
o.
O

Que dicte 4 veces rnas de la recta
-3)

Y =-

3 que de x

-=

-2.
Sol
3Y
1-

+
3

11
.

o,
-

x

+

I

K ) Que pase por el punto (-2,
h)

y sea perpendicular a la recta

O. O,

Sol.

y t 3

Que equidiste de los ejes coordenadoi.
y sea paralela a la recta y i 3
=-

Sol. y - Y
-

y

+ x o.
-

i ) Que pase por el...