Geometria analitica lugar geometrico

Introducción

Un avance importante en el desarrollo y estudio de la Geometría llegó en el siglo XVII, de la mano del filósofo y matemático R. Descartes, con la incorporación a la geometría del lenguaje algebraico, es decir con el nacimiento de la geometría analítica. Gracias a esta potente herramienta, Descartes probó que todas las cónicas se pueden describir mediante ecuaciones de segundogrado y, unos años más tarde, J. Witt demostró que toda ecuación de segundo grado describe una cónica. Cabe citar también a Desargues, que estudió las secciones cónicas y los puntos del infinito y Pascal cuyo trabajo se concentra en el “Essay pour las coniques”, donde aparece el teorema que hoy lleva su nombre: Si se inscribe un hexágono en una cónica, los puntos de intersección de los pares de ladosopuestos están alineados. Las cónicas son: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; es importante tener en cuenta que son líneas y no superficies.

Definición de lugar geométrica: representación gráfica y analítica, simetría y asíntotas.

Definición: El conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano cuyas coordenadas satisfacen una propiedad, o condición geométrica, se conoce comolugar geométrico.

Representación gráfica y analítica: Consideremos la ecuación 3x + y = 7, para construir la gráfica de esta ecuación podemos construir tablas de valores para x e y, dando a x valores arbitrarios y calculando los correspondientes valores de y, por lo que es conveniente escribir la ecuación de la siguiente forma: y = 7 – 3x.


x 0 1 2 3 4
y = 7 – 3x 7 4 1 -2 -5

Asípues, (0, 7),(1, 4),(2, -1),(3, -2) y (4, -5) son todos puntos que satisfacen la ecuación 3x + y = 0, si seguimos evaluando más puntos obtendremos una cantidad infinita, los cuales todos satisfacen la ecuación, a este conjunto de puntos es l que denominamos grafica de la ecuación o el lugar geométrico de la misma. Este procedimiento es lo que llamaremos una representación de una gráfica por puntos,el cual lo podemos resumir así:
Construir una tabla con varios puntos que satisfacen la ecuación.
Situar estos puntos en el plano.
Unir los puntos mediante una curva regular.

Simetrías: se dice que una gráfica es simétrica con respecto a un eje si la gráfica que está a la izquierda del eje coincide con grafica a la derecha del eje, el caso del eje y, la simetría con respecto al eje x sepuede describir de forma análoga.
Definición de las simetrías:
Una gráfica se dice que es simétrica con respecto al eje y si al sustituir en la ecuación de la gráfica x por -x, su grafica o lugar es simétrica con respecto al eje y.

Asíntotas: es una recta que se aproxima infinitamente a una curva a medida que la curva se aleja del origen de coordenadas, otra forma de definirla seria, siexiste una recta tal que un punto P de la curva se aleja del origen del sistema de coordenada al infinito la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente sin tocarla, esta recta se llama asíntota. Se clasifican en:



La Recta: Definición geométrica y analítica. Condiciones que definen una recta. Distancia de un punto a una recta. Ecuación general de la recta. Posiciones relativas dedos rectas. Distancia entre dos rectas paralelas.

Definición geométrica: Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.
Definición analítica: Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.

Condiciones que definen una recta: Una recta queda determinada completamentesi se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.

Distancia de un punto a una recta: En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta.

Sean A un punto y D una recta.
Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima...