geometria analitica y plana

GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Esta ecuaci6n es la llamada ecuaci6n simbtrica de la recta. De aqui el
siguiente
TEOREM4A. La recta cuyas intercepciones con 10s ejes X y Y son
a # 0 y b # 0 , respectivamente, tiene por ecuacidn
NOTAS. 1. Si a = 0, entonces tambiin b = 0, y la forma simitrica no
puede usarse. En este caso, solarnente se conoce un punto, el origen, y no es
suficiente paradeterminar una recta.
2. Como una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de
sus puntos, la rnanera mis conveniente de trazar una recta a partir de su ecuacion
Fig. 39
es deterrninar las dos intersecciones con 10s ejes. Si la recta pasa por el origen,
basta determitiar otro punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuacion.
Ejemplo 1. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por elpunto (- 3. I)
y es paralela a la recta determinada por 10s dos puntos (0, - 2) y (5, 2) .
Solucibn. Como se conoce un punto de la recta requerida I (fig. 39).
solamente es necesario obtener su pendiente que, segun sabemos, es la misma que
la de la recta paralela I' que pasa por 10s dos puntos (0. - 2). (5, 2) (corolario
1 del teorema 5. Art. 10). La pendiente de I' es, por el teorema 4 delArticulo
8.
m = 2.- (- 2) = 4
5-0 T'
Por tanto, segun el teorema 1, Artic'ulo 26, la ecuacioti de 1 es
y-1 =%(x+3).
o sea. 4x-5y+17-0.
LA LINEA RECTA 6 3
Ejemplo 2. Hallar la ecuaci6n de la mediatriz (perpendicular en su punto
rnedio) del segrnento (- 2. 1). (3, - 5 ) .
Solucibn. Supongamos que la mediatriz es la recta 1 y que el segrnento
es I' (fig. 40). Las coordenadas del punto medioM de 1' son (x. -- 2) pot
el corolario a1 teorema 3, Articulo 7. La pendiente de l', por el teorema 4 del
Articulo 8, es
Fig. 40
Corno 1 es pqrpendicular a It, su pendiente, por el corolario 2 del teorema F.
Articulo 10, es m = 76. Por tanto, por el teorema 1, Articulo 26, la ecuaci6n
de 1 es
y+2=7:(x-%)).
la cual se reduce a
lox - 12 y - 29 = 0.
EJERCICIOS. Grupo 9
Dibujar una figurapara cada ejercicio.
1. Hallar la ecuaci6n de la recta que pasa por el punto A (1,*5) y tiene de
pendiente 2.
2. Hallar la ecuaci6n de la recta que pasa pot el punto A (- 6, - 3) y tiene
un angulo de inclinaci6n de 45'.
3. Hallar la ecuaci6n de la recta cuya pendiente es - 3 y cuya intercepci6n
con el eje Y es - 2.
4. Hallar la ecuaci6n de la recta que pasa por 10s dos punt0s.A (4, 2) y
B(-5, 7).
6. Los vlrtices de un cuadrilitero son A (0, O), B (2, 4), C (6, 7), D (8, 0).
Hallar las ecuaciones de sus lados.
6 4 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
6. Los segmentos que una recta determina sobre 10s ejes X y Y son.2 y - 3.
respectivamente. Hallar su ecuacibn.
7. Una recta pasa par 10s dos puntos A (- 3, - 1) y B (2. - 6 ) . Hallar
su ecuacibn en la forma simetrica.
8. Una recta dependiente - 2 paea por el punto A (- 1, 4 ) . Hallar su
ecuacibn en la forma simitrica.
9. Hallar la ecuacidn de la mediatriz del segmento A (- 3, 2 ) . B (I. 6 ) .
10. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta C (- 2. 2)
y D (3. - 4) . Hallar su ecuaci6n.
11. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto A (- 2, 4). y
determina sobre el eje X el segmento - 9.
12.Demostrar que 10s puntos :4 (- 5. 2 ) , L1 (1. 4) y C (4, 5) sctn r~:lineales
hallando la ecuaci6n de la recta que pasa por dos de estos puntos.
13. Hallar la ecuacion de la mediatriz del segmento que 10s ejes coordenados
determinan en la recta 5 x + 3 y - 15 = 0.
Los ejercicios 14-21 se refieren al triingulo cuyos vertices son A (- 2, I),
B (4. 7) y C(6. - 3 ) .
14. Hallar lae ecuacionee de10s lados.
15. Hallar la ecuaci6n de la recta que pasa por el virtice A y es paralela al
lado opuesto BC.
16. Hallar las ecuaciones de la rectas que pasan por el virtice B y trisecan
al lado opuesto AC.
17. Hallar 10s vertices del triingulo formado por las rectas que pasan por 10s
vertices A. B y C y son patalelas a 10s lados opuestos.
18. Hallar las ecuaciones de Ias medianas y las...