Geometria analitica

Tema 1
Segmentos

Segmento rectilíneo dirigido es aquel que cerrado en sus puntos leídos de izquierda a derecha se consideran arbitrariamente positivos y de derecha a izquierda negativo, de tal forma que por ser de ambos sentidos de la misma magnitud se representa así:

[pic]

[pic]

Sistema Coordenado Lineal o Unidimensional

Es el constituido por un segmento rectilíneo dirigido quecontiene a elementos geométricos (puntos) y numéricos (numero reales) en una correspondencia biunívoca perfecta.

[pic]

[pic] Origen del sistema coordenado unidimensional.
[pic] Eje del sistema coordenado unidimensional.
[pic] Coordenada del punto [pic], también es la representación analítica del punto [pic], por que es su representación más general posible dentro de un sistema coordenado.[pic] Representación geométrica ó gráfica del número real [pic].

Longitud y Distancia: entre dos puntos en un sistema coordenado lineal
Longitud Entre 2 Puntos

De la figura:
[pic]

Consideremos los puntos [pic] y [pic] en el sistema unidimensional de la figura y efectuemos la suma de segmentos orientados:

[pic] [pic] [pic]
Para: [pic] y [pic]
[pic]Lo anterior muestra que la longitud de un segmento dirigido se obtiene restando a la coordenada del punto lineal del segmento la coordenada del punto inicial. Esta conclusión se enuncia así: “En un sistema coordenado lineal, la longitud de un segmento dirigido limitado por 2 puntos dados se obtiene en Magnitud y Signo restando la coordenada del origen, de la coordenada del exceso”.
Distanciaentre 2 puntos

La distancia entre 2 puntos: es valor absoluto de la magnitud del segmento orientado, es decir, la distancia es independiente del signo que determina su sentido, de otra forma “la distancia entre 2 puntos es el valor absoluto de la longitud del segmento limitado por esos 2 puntos”.

Esta distancia se representa por [pic]:
[pic]
[pic]

Ejercicios: ubicar los puntos [pic] y[pic] en un sistema coordenado unidimensional y hallar longitud y distancia de: [pic] a [pic] y de [pic] a [pic].

Sistemas Coordenadas En El Plano

Ya vimos que en un sistema coordenado unidimensional a cada punto corresponde uno y solo un número real y viceversa. Es éste sistema un punto puede moverse en cualquier dirección, pero únicamente sobre una recta, lo cuál limita ostensiblemente elanálisis de propiedades geométricas. Consideremos ahora un sistema en el cual un punto pueda desplazarse en cualquier dirección, manteniéndose siempre en un plano.

Sistema Coordenado Bidimensional ó Coordenado Rectangular

Lo conforman 2 rectas perpendiculares entre sí llamados ejes coordenados y el cruce de dichas rectas, “origen”. En este sistema el punto se mueve en un plano y es aquí dondepueden estudiarse las propiedades de las figuras planas de la geometría.

Recordemos que éste sistema también es llamado Sistema de Coordenadas Cartesianas, puesto que Renato Descartes el creador de la Geometría Analítica era conocido como Cartesius.

Deberá distinguirse que en estos sistemas coordenados, no en todos, hay una correspondencia biunívoca entre un par ordenado de números reales y unpunto, sin embargo, esto si se cumple para el sistema cartesiano, motivo de nuestro estudio.

Ejercicios: Trazar los siguientes puntos [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic].

Distancia Entre 2 Puntos En Un Sistema Bidimensional

Se trata de calcular la distancia entre 2 puntos [pic] y [pic]. Para esto tracemos sendas perpendiculares desde cada punto a los ejes de coordenadas,perpendiculares que van a cortarse en el punto [pic]. Se forma de éste modo un triángulo rectángulo al que si le aplicamos el teorema de Pitágoras nos va a dar esto:

[pic] Pero[pic] [pic]
[pic]

[pic]

Ejemplos: en cada caso calcular la distancia entre los puntos que se indican:

A. [pic]
[pic] [pic]
B. [pic]
[pic] [pic]
C. [pic]...