Geometria analitica

UNIDAD 1 : GEOMETRÍA ANALÍTICA
1.1. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Un sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto O. La recta horizontal se denomina eje X y la recta vertical se denomina eje Y. el punto O se denomina origen. La distancia desde un punto cualquiera (a, b ) al eje Y se denominaabscisa y la distancia desde el mismo punto hasta el eje X se denomina ordenada. Ambas distancias constituyen las coordenadas del punto en cuestión. y

II

b

abscisa

(a,b)
ordenada

O

a

x

III

IV

1.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura:
y2 d y1 P(x1,y1) x2 – x1 x1 x2 Q(x2,y2) y2 – y1

O

Según el teorema de Pitágoras tenemos que: d 2 = ( x2 −x1 )2 + ( y 2 − y1 )2

Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA

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Por lo tanto la distancia d entre los puntos P ( x1 , y1 ) y Q( x2 , y 2 ) es: Ejemplo No. 1: Halle la distancia entre los puntos (4,−1) y (7, 3) Solución:
d=

d=

(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2

(7 − 4 )2 + (3 − (− 1))2

= 9 + 16 = 25 = 5 ⇒ d = 5 unidades

1.3. LA LINEA RECTA Una línea recta Lestá completamente determinada si se conocen: Dos de sus puntos. Un punto y su pendiente. 1.3.1. Inclinación de una recta La inclinación de una recta L es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el eje X.
L

θ

1.3.2. Pendiente de una recta La pendiente m de una recta L es la tangente del ángulo de inclinación. Es decir: m = Tanθ Siendo θ el ángulo de inclinación de la línea recta. Perosegún la figura: Tan θ = Por lo tanto: m = Tanθ =
y 2 − y1 x 2 − x1

y 2 − y1 x 2 − x1

Es decir la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q es:
m= y 2 − y1 x 2 − x1

Ejemplo No. 2: Halle la pendiente m y el ángulo de inclinación θ de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y

(− 2, − 1)

Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA

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Solución:
(2, 3)Tenemos que:
m= y 2 − y1 3 − (− 1) 4 = = =1⇒ m =1 x 2 − x1 2 − (− 2 ) 4

Además:
m = Tanθ

Por lo tanto:
1 = Tan θ ⇒ θ = Tan −1 (1) = 45 º ⇒ θ = 45 º
(-2,-1)

1.3.3. Ecuación de la recta Conocido un punto de la recta y la pendiente: La ecuación de la recta que pasa por el punto P (x1 , y1 ) y cuya pendiente sea m es:
y − y1 = m( x − x1 )

La ecuación anterior se llama ecuaciónpunto-pendiente Conocido la pendiente y el punto de intersección con el eje Y: La ecuación de la recta cuya pendiente sea m y que corta al eje Y en el punto (0, b ) es:
y = mx + b

La ecuación anterior se llama ecuación punto-intercepto Conocido dos puntos de la recta: Para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P ( x1 , y1 ) y Q( x 2 , y 2 ) se calcula la pendiente m con laformula:
m= y 2 − y1 x 2 − x1

Y posteriormente se aplica la ecuación punto-pendiente. Ejemplo No. 3: Halle la pendiente m y el punto de intersección con el Y de la recta 2 y + 3 x = 7 Solución: Despejando y de la ecuación de la recta tenemos que:
2 y + 3x = 7 2 y = −3x + 7 y =−3 x+ 7 2 2

Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA

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Por lo tanto m = − 3 y b = 7 2 2 Elpunto de intersección con el eje Y es: (0, 7 ) 2 Ejemplo No. 4: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (− 4, 3) y cuya pendiente es m = −2 Solución: Aplicando la ecuación punto-pendiente tenemos que:
y − y1 = m( x − x1 ) ⇒ y − 3 = −2( x − (− 4 )) ⇒

y = −2 x − 5

Ejemplo No. 5: Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 8 ) y (− 3, − 7 ) Solución: La pendiente m es:m= y 2 − y1 − 7 − 8 − 15 = = =3 x2 − x1 − 3 − 2 − 5

Aplicando la ecuación punto-pendiente y tomando el punto (2, 8) tenemos que:
y − y1 = m( x − x1 ) ⇒ y − 8 = 3( x − 2 ) ⇒ y = 3 x + 2

Ejemplo No. 6: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,−3) y cuyo ángulo de inclinación es θ = 60º Solución: La pendiente m es:
m = Tan θ ⇒ m = Tan 60 º ⇒ m = 3

Aplicando la ecuación...