Geometria Analitica

Unidad Educativa Particular “Joseph Louis de Lagrange”
Trabajo de Recuperación de Matemáticas

Nombre: Daniela Hernández
Curso: tercero de Bachillerato
Fecha de Entrega: 27/05/2013

Elipse
Definición:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a
otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

E= {P(x, y)

/d(

)+d) = 2a}

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano
oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse
que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Elementosde la Elipse

Simbología:
F y F’: focos.
V y V’: vértices
C: centro.
d(V, V’): eje mayor.
CF: lado recto.
d(A, A’): eje menor.
L’: eje normal.
L: eje focal.
Es importante observar que F, F’, C, V y V’ tienen una coordenada en común y que la distancia de F a V
es igual a la distancia de F’ a V’ y que C es el punto medio de los focos y vértices.

Formas de las ecuaciones de la elipse1. La ecuación de una elipse con C (h, k) y eje focal paralelo al eje X está dada por:

La ecuación de la elipse de centro en el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje X, es:

2. La ecuación de una elipse con C (h, k) y eje focal paralelo al eje X está dada por:

La ecuación de la elipse de centro en el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje Y es:

3. La ecuación de una elipse concentro en (h,k) y focos en F"(h+c,k) y F (h-c,k) está dada por:

+

=1

4. La ecuación de una elipse con centro en (h,k) y focos en F"(h,k+c) y F (h,k-c) está dada por:

+

=1

Propiedades de la Elipse

Una elipse debe tener las siguientes propiedades:


La distancia de A a cualquier punto de la elipse y después a B debe ser constante.



La perpendicular de la elipse encualquier punto es bisectriz del ángulo subentendido por AB
en dicho punto. (A y B son los focos de la elipse)



Como las propagaciones son reversibles se reflejarán en la barrera, convergerán y pasarán a A,
se reflejarán en la barrera, convergerán y pasarán por B y así sucesivamente.

Entre las principales aplicaciones de las elipses están la primera Ley de Kepler, que habla sobre elmovimiento de los planetas, ya que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra
el Sol y la famosa Ley de la gravitación universal, descubierta por Newton debido a sus amplios
conocimientos sobre la geometría de las elipses.
La elipse tiene propiedades de reflexión semejantes a las de la parábola: si unimos cualquier punto P,
de la elipse con sus focos, el ángulo que formanlos radios focales con la tangente en ese punto son
iguales. Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de
luz o sonido, desde uno de los focos se refleja en el otro foco.

La elipse en mecánica celeste

En mecánica celeste clásica, dos masas puntuales sometidas exclusivamente a interacción gravitatoria
describen una órbita elíptica (ocircular 6) la una en torno a la otra cuando la órbita es cerrada. Un
observador situado en cualquiera de las masas verá que la otra describe una elipse uno de cuyos focos
(o centro) está ocupado por el propio observador. La excentricidad y otros parámetros de la
trayectoria dependen, para dos masas dadas, de las posiciones y velocidades relativas. Los planetas y
el Sol satisfacen la condición demasas puntuales con gran precisión porque sus dimensiones son
mucho más pequeñas que las distancias entre ellos. La cinemática de la órbita se rige por las leyes de
Kepler.
En la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distintos de una órbita elíptica que cumplen la
segunda ley de Kepler: "en tiempos iguales una masa en órbita barre con su radio vector áreas
iguales". Cuando el "planeta"...