GEOMETRIA ANALITICA



Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Rafael


Sistemas Dinámicos I
Análisis Matemático I


Variación de funciones

1) INTRODUCCIÓN
Muchas veces en el estudio de diversos problemas de ingeniería se utilizan expresiones como:
¿Cuál será la lata de máximo volumen que se podrá lograr con una chapa de un ciertoárea?
¿Qué velocidad máxima alcanzará un objeto que se lanza desde el reposo con una aceleración…?
¿En qué intervalo de tiempo aumentará la velocidad de un objeto en tiro vertical? ¿en qué intervalo irá disminuyendo?
¿Hasta cuando aumentará la población de microorganismos en una muestra…?
¿Cómo obtener un máximo ingreso en la producción y venta de un cierto artículo?
¿Qué forma permitirá que sepueda construir un recipiente con la mínima cantidad de material?
Estas preguntas y muchas otras relacionadas se responden haciendo un análisis de lo que llamamos variación de modelos funcionales.

2) EXTREMOS
Analicemos las gráficas siguientes. Advertimos en ellas la existencia de valores de su dominio para los cuales el valor de la función es "mayor" o "menor" que para otros valores deldominio o del intervalo considerado. También se puede apreciar que hay intervalos en los que la función “crece” o “decrece”.
Surge así la necesidad de dar precisiones sobre estos conceptos.



3) EXTREMOS ABSOLUTOS O GLOBALES
Máximo absoluto
Un número f(c) es un extremo absoluto, máximo, de una función f(x) en un intervalo I, si se cumple:

El intervalo I puede ser el dominio de lafunción, Df, o un intervalo cerrado o abierto incluidos en el dominio de la función.

Mínimo absoluto
Un número f(c) es un extremo absoluto, mínimo, de una función f(x) si



4) TEOREMA DE LA EXISTENCIA DE EXTREMOS
Dada una función f(x), continua en todo punto de un intervalo cerrado [a, b], entonces alcanza un mínimo absoluto "m" y un máximo absoluto "M". Es decir, existen númerosx1 y x2 pertenecientes al intervalo [a, b] tales que
f(x1) = m ; f(x2) = M
y además m  f(x)  M para cualquier otra x perteneciente al intervalo.
Si el intervalo es abierto no hay garantías de la existencia de un extremo absoluto.
En las próximas gráficas podemos ver las cuatro situaciones que se pueden presentar, todas analizadas en intervalos cerrados [a, b].
1. Mínimo en un puntointerior, máximo en un extremo.(Fig A)
2. Máximo y mínimo en puntos interiores.(Fig B)
3. Máximo en un punto interior, mínimo en los extremos. (Fig C)
4. Máximo y mínimo en los extremos.(Fig D)








Si se estudia en un intervalo abierto (a,b), puede ocurrir que no existan extremos, como en la Fig. E. En este caso, como se ve gráficamente, si bien la función es continua,los valores f(a) y f(b) no son extremos por no pertenecer los valores “ a” y “b” al intervalo considerado.

5) EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES

En el caso de la Fig F, se puede apreciar que es un intervalo abierto, por lo que no existen extremos en los puntos frontera. Sin embargo se notan dos puntos, a los que lescorresponde un valor de función máximo o mínimo en su cercanía o entorno. Estos extremos, que lo son en un entorno de un punto (absoluto para ese entorno) pero no necesariamente en otro intervalo, se llaman extremos relativos. Se los estudia en intervalos abiertos (entornos).

5.1) Máximo relativo
Un número f(c) es un máximo relativo de f(x) si f(x)  f(c) para todo x en un entorno (intervaloabierto) que contiene a "c". Esto implica un punto interior del dominio o intervalo considerado.






5.2) Mínimo relativo
Un número f(c) es un mínimo relativo de f(x) si f(x)  f(c) para todo x en un entorno (intervalo abierto) que incluya a "c". Esto implica un punto interior del dominio o intervalo considerado.








¿Hay diferencia entre los dos tipos de extremos que hemos...