Geometria Analitica

23 de Junio de 20102
G
EOMETRÍA
A
NALÍTICA
.
Algo de Historia
La geometría analítica se define como un método que unifica el álgebra y la geometría.Los primeros pasos en la geometría analítica los dio Menecmo hacia el año 350 a. de C. cuandointentaba resolver el problema de la duplicación del cubo (construir un cubo de doble volumena partir de otro dado). Redujo el problema alde la construcción de las dos mediasproporcionales entre 2 y 1, es decir, si encontramos x e y tales que:

Entonces :


 

 
y así


 

Por lo tanto, el cubo de lado x tiene el doble de volumen que el de lado y.A partir de las ecuaciones obtenidas Menecmodescubrió secciones de un cono circular.También se piensa que él aplicó técnicas que llevabanimplícito el sistema de coordenadas queutilizamos hoy en día. Estas secciones encontradas por Menecmo comenzaron a estudiarsemás a fondo en el primer siglo de la época helénica donde sobresalían matemáticos comoEuclides, Arquímedes y Apolonio de Perga.A finales del siglo IV existieron dos obras muy importantes, la primera fue de Aristeo 
El librode los lugares sólidos
donde plantea que las cónicasse obtienen por secciones de cilindros; yla segunda obra se le atribuye a Euclides, de quien dicen que además de haber escrito su obralos elementos, habría escrito 4 tomos sobre las cónicas de los cuales no queda ningúnejemplar y se piensa que el contenido de esos tomos aparece en las líneas fundamentales delos libros de 
Las cónicas
de Apolonio.Apolonio vivió entre 262-190 a. de C., nacióen Perga en el sur de Asia Menor. Una de susobras más importantes, 
Las Cónicas
 recogían en 8 tomos, todo el saber de la época acercade las cónicas y fue él quien dio el nombre de parábola, elipse e hipérbola a las curvascorrespondientes (aunque existen indicios de que Arquímedes ya había usado el término deparábola).Los pasos (importantes) siguientes, no vendrían sino hasta cerca de 1800años después, juntocon dos franceses René Descartes (1596 - 1650) y Pierre de Fermat (1601 - 1665). Amboscreadores de la geometría analítica, en forma simultánea e independiente.La
Geometría
de Descartes fue publicada en 1637 como uno de tres apéndices de su obra másimportante:
Discurso del Método
. Su trabajo es más general en alcance que el de sucompatriota Fermat, su mérito consiste sobretodo en la aplicación del álgebra del siglo XVI alanálisis geométrico de los antiguos. Dos siglos después Ampere denominó a este métodode lageometría como geometría analítica.



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En tanto, Fermat aplicó en una nueva dirección el estudio de los lugares geométricos, en sutrabajo (1629) dedica escasas 8 hojas a la
línea, al círculo y a las secciones cónicas
. Establecióenun lenguaje preciso el principio fundamental de la geometría analítica;

si en una ecuaciónse tienen 2 cantidades desconocidas tenemos un lugar geométrico que puede ser una recta ouna curva

; demostró además que las ecuaciones de primer grado expresadas en términosgenerales como

      
representan rectas, mientras que las ecuaciones de segundogrado de la forma:


 


      
representan circunferencias, y otrasecuaciones de segundo grado pueden representar en general:
p
arábolas, eli
p
ses o hi
p
érbolas
.Sin embargo, aunque el trabajo de Fermat fue más sistemático en algunos aspectos, no fuepublicado de hecho sino hasta 1679, después de su muerte, y por esta razón hoy hablamos dela geometría cartesiana en lugar de la geometríafermatiana. Situación que aun hoy implicadiscusión y confrontación entre los grupos defensores de cada matemático.Pero valorizar un trabajo más que otro no es quizás lo correcto, sería más adecuado destacarlos aportes de cada uno de ellos, ya que, mientras que Descartes comúnmente empezaba conuna curva y derivaba su ecuación algebraica, Fermat comenzaba con una ecuación algebraica yderivaba de...