geometria analitica

10.1.1 Distancia entre dos puntos
A partir del concepto de un punto como una pareja ordenada P(x, y), si se conocen las coordenadas de dos puntos, se puede determinar la distancia entre ellos midiendo la longitud del segmento de recta que los une. Por ejemplo, si queremos saber cuánto ha recorrido la pelota lanzada desde el punto A por un jardinero hasta la tercera base (punto B) en una canchade béisbol (véase la figura), esto será posible si aplicamos el concepto de distancia entre dichos puntos.

A continuación se describe el procedimiento para encontrar la longitud de un segmento que no es paralelo a los ejes coordenados.
Si se desea encontrar AB, podemos aplicar el siguiente procedimiento.
Sea BC un segmento paralelo al eje horizontal y AC un segmento paralelo al eje vertical,entonces, BC = 2-(-3) = 5 y AC = 3-(-2) = 5.
Como ABC es un triángulo rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
AB2 = BC2+AC2
Por lo tanto:
AB2= (5)2+ (5)2
O bien:
AB= = 5






Para determinar la longitud de un segmento que es paralelo al eje vertical:







Para determinar la longitud de un segmento que es paralelo al eje horizontal:







Definición10.1 (Distancia entre dos puntos)
Si A tiene coordenadas (x1, y1) y B tiene coordenadas (x2, y2), entonces la distancia entre A y B, está dada por: d(A, B)= √(x1-x2)2+ (y1-y2)2.

En esta definición, el orden en que se seleccionan los puntos no influye en el valor de la distancia.
Ejemplo 10.1 Distancia entre dos puntos.
Emplee la fórmula de la distancia entre dos puntos para determinar si elABC bosquejado en la figura, es isósceles.
Solución:
Se empieza por determinar las longitudes de los tres lados.





AB = =
BC = =
AC = =



No existen dos lados que tengan la misma longitud, por lo tanto, el ABC no es triángulo isósceles.

Ejemplo 10.2 Distancia entre dos puntos.
Volviendo a la pregunta planteada al inicio de esta sección sobre la distanciaque recorrió la pelota de béisbol y utilizando un sistema de coordenadas como el de la figura, con origen en home, el jardinero está en la posición del punto A (280, 20), mientras que la tercera base se ubica en la posición del punto B (0, 90). Tenemos el siguiente bosquejo.









Solución:
Utilizando la definición de distancia entre A y B, tenemos:

d(A, B) =
==
=
d(A, B) = 10
La pelota recorrió aproximadamente 289 pies.

10.1.2 Punto medio de un segmento de recta

En la figura observe que los puntos (2, 1) y (-2, ½) equidistan de los extremos de los segmentos a los cuales pertenecen RS y PQ, respectivamente.









Para el segmento horizontal RS, la abscisa del punto (2,1) es la semisuma de las abscisas delos extremos y la ordenada se mantiene. Para el segmento vertical PQ, la ordenada del punto (-2, ½) es la semisuma de las ordenadas de los extremos y la abscisa se mantiene.
Este mismo concepto puede aplicarse para otros segmentos de recta. Sean P1 (x1, y1) las coordenadas de un extremo y P2 (x2, y2) las coordenadas del otro extremo, tal como se muestra en la siguiente figura.P2 (5, 3)






Con P1 (-3, -2) y P2 (5, 3) se verifica que:
= = 1
= =
Es decir, las coordenadas del punto M son (1, ½), el cual equidista de P1 y P2.
A continuación se enunciará y demostrará un teorema con el que se generaliza este resultado.

Teorema 10.1 (Punto medio de un segmento de recta)
Si las coordenadas de los extremos del segmento P1P2 son P1 (x1,y1) y P2 (x2, y2), entonces las coordenadas del punto medio M de P1P2 son:


Demostración:
Como se analizará en la sección 10.1.3, la ecuación de la recta L que contiene a los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) es:
(X – X1)











L

Debido a que el punto M (x0, y0) pertenece a la recta L, tenemos:
(X0 –...