Geometria analitica

GIMNASIO ALTAIR DE LA SABANA.
“Un mundo feliz para la educación de sus hijos”
Guía de Matemáticas – Décimo Grado

Estudiante: ________________________________________________________________________________
Tema: Geometría analítica.
Logro: Propone caminos que conducen a encontrar la solución de situaciones problemas en donde intervienen los elementos de la recta, sus ecuaciones y lasposiciones en un plano.


GEOMETRÍA ANALÍTICA



UN POCO DE HISTORIA
En 1637, el matemático, físico y filósofo francés René Descartes estableció una relación entre la geometría y el álgebra. Mediante esta relación pudo estudiar las figuras geométricas, examinando las diversas ecuaciones que las representan. Al mismo tiempo, usó las propiedades de las figuras geométricas para estudiar lasecuaciones algebraicas.

El estudio de los problemas geométricos desde un punto de vista algebraico recibe el nombre de Geometría Analítica.

La geometría analítica traduce, pues, las figuras geométricas en ecuaciones y mediante el análisis de estas ecuaciones se determinan sus características y propiedades.

René Descartes(1596-1650).











Considerado el primer filósofomoderno y el padre de la Geometría analítica. Su famosa frase "Cogito, ergo sum" ("Pienso, luego existo") fue el punto de partida que le llevó a investigar las bases del conocimiento. Descartes desarrolló el sistema de coordenadas cartesianas para ecuaciones gráficas y figuras geométricas.


La geometría analítica se ocupa de dos tipos clásicos de problemas. El primero es: dada la descripcióngeométrica de un conjunto de puntos, encontrar la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos.
El segundo tipo de problema es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
DE UNA RECTA
(UNA DIMENSIÓN)

Sean P1 (x1) y P2 (x2) dos puntos sobre una recta unidimensional.La distancia entre los puntos P1 y P2 es igual al valor absoluto de la diferencia de las coordenadas de los dos puntos.

d (P1, P2) = x2 – x1 = x1 – x2


La distancia representa la longitud del segmento de recta comprendido entre los puntos P1 y P2.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
DEL PLANO CARTESIANO
(DOS DIMENSIONES)

Tomemosdos puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) del plano cartesiano.










El triángulo P1QP2 es rectángulo. La distancia d entre los puntos P1 y P2 está representada por la hipotenusa.
P1Q = y2 – y1
P2Q = x2 – x1
Por el teorema de Pitágoras tenemos:
d2 = (P2Q)2 + (P1Q)2 = x2 – x1 2 + y2 – y1 2
Pero, x2 – x1 2 = (x2 – x1)2
y2 – y1 2 = (y2 – y1)2Por lo tanto, d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

d =  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
PROPIEDADES DE LA DISTANCIA

1. d(P, Q )  0

2. d(P, Q ) = 0  P = Q

3. d(P, Q ) = d(Q, P) (Propiedad simétrica)

4. d(P1, P2) + d(P2, P3) = d(P1, P3)  Los puntos
P1, P2 y P3 están sobre una misma recta (son colineales).



Un caracol desea subir hasta la cima de una estaca de8 m de alto. Durante el día sube 3 m pero durante la noche, al quedarse dormido, resbala y desciende 2 m. ¿Cuántos días necesitará el caracol para llegar a la cima de la estaca?

Son los que emplean mal el tiempo los primeros en quejarse de su brevedad

GEOMETRÍA ANALÍTICA


COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO
DE UN SEGMENTO

Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) los puntos extremos de un segmento PQ.Si M es el punto medio, sus coordenadas se obtienen con las expresiones:


x1 + x2
x =
2


EJERCICIOS

1. Encontrar la distancia entre los puntos dados:
a) (-7, 5) y (-1, 11) b) (2, 3) y (-2, -3)
c) ( 1/2 , 1/3 ) y (2, 3) d) (-2, -2) y (-1, 7)
e) (-2/5, 1/4) y...