Geometria Analitica

Hiperbola
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.
Sin embargo,el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Ecuacion de la Hiperbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas  y ecuación de la hipérbola en suforma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto 

Ejemplos:
a)

b)

Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.
Ecuación de la hipérbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugargeométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias , a dos puntos fijos llamados focos y , es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea  ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuación queda: Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Ecuaciones en Coordenadas Polares

Hipérbola abierta de derecha a izquierda: 

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola abierta de noreste a suroeste: 

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

Ecuaciones Parametricas
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba aabajo:

En todas las formulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.

Elementos de la hipérbola
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario
Es la mediatriz del segmento .
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices
Los puntosA y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento  de longitud 2c.
Eje mayor
Es el segmento  delongitud 2a.
Eje menor
Es el segmento  de longitud 2b.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas
Son las rectas de ecuaciones: 
Relación entre los semiejes

Coordenadas en el Plano
  Se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto a dos ejes.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partesllamados "Cuadrantes". Tenemos así, el primero (I), segundo (II), tercero (III) y cuarto (IV) cuadrante. Observa que los cuadrantes se definen en sentido contrario a las agujas del reloj.

El eje de las abscisas en el Sistema de Coordenadas Cartesianas es semejante a la recta real ya estudiada por ti. A la derecha del origen se representan los números positivos mientras que a la izquierda...