Geometria Analitica

9

Geometría
analítica

1. Vectores

PIENSA Y CALCULA
Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en
los puntos: A(4, 3), B(– 4, 3), C(– 4, – 3) y D(4, – 3)
Solución:
Y
B(–4, 3)

A(4, 3)
X

C(–4, –3)

D(4, –3)

APLICA LA TEORÍA

Ä8

1 Dado el punto A(– 5, 4), halla el vector OA, repre-

séntalo y halla suscomponentes.

Solución:
A(3, – 5)

Solución:

Y

Ä8

OA (– 5, 4)
Y
X

A(– 5, 4)
OA

4

X
A(3, – 5)

O

3 Calcula el módulo y el argumento de los siguientes

La componente horizontal es – 5, y la vertical, 4

vectores:
8

a) v (5, 2)
2 Dado el vector 8 (3, – 5), halla el punto A tal que el
v
Ä8

8

vector OA = v , y represéntalo.
280

8

b) v (– 4, 3)Solución:
—
—
8
a) |v | = √ 52 + 22 = √ 29 = 5,39 unidades.
SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

–5

2
tg a = — ò a = 21° 48’ 5”
5

Y

8

8

u + v = (1, 5)

Y
8

8

v(4, 3)

u(– 3, 2)

X

8

v(5, 2)
a

2 X

5

b) Analíticamente:
8

8

u – v = (– 3, 2) – (4, 3) = (– 7, – 1)

8

b) |v | = (– 4)2 + 32 = 5 unidades.

Geométricamente:

YY

8

v(– 4, 3)

8

a

3

8

u–v
X

8

8

v(4, 3)

u(– 3, 2)

–4

X

3
tg a = — ò a = 143° 7’ 48”
–4
6 Dado el vector 8 (3, 1), calcula analítica y geométriv
4 Halla el vector opuesto del vector 8 (5, 4) y reprev

séntalos en unos mismos ejes coordenados.

camente:
8

8

a) 2 v

b) – 2 v

Solución:

Solución:

8

a) Analíticamente: 2 v = 2(3, 1)= (6, 2)

8

– v = (– 5, – 4)

Geométricamente:

Y

Y

8

v(5, 4)

8

X

8

v(3, 1)

2v(6, 2)
X

8

– v(– 5, – 4)

5 Dados los siguientes vectores:
8

8

u (– 3, 2) y v (4, 3)

8

b) Analíticamente: – 2 v = – 2(3, 1) = (– 6, – 2)
Geométricamente:

calcula analítica y geométricamente:
8

8

Y

8

8

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

a) u + v
b)u – v

8

v(3, 1)

Solución:
a) Analíticamente:
8

8

X

8

– 2v(– 6, – 2)

u + v = (– 3, 2) + (4, 3) = (1, 5)

Geométricamente:

TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA

281

2. Ecuaciones de la recta

PIENSA Y CALCULA

Ä8

Halla la pendiente del vector AB del primer dibujo del margen y simplifica el
resultado.

Y
B(2, 5)
AB

Solución:

AB(6, 4)
X

A(–4, 1)

4 2AB (6, 4) ò m = tg a = — = —
6 3

Ä8

O

APLICA LA TEORÍA
7 Dados los puntos A(– 2, 1) y B(3, 4), calcula el vecÄ8

tor AB . Haz la representación gráfica.
Solución:
Ä8

9 Representa la recta que pasa por el punto P(1, 4) y
8

tiene como vector director v (2, – 3). Halla las distintas ecuaciones de dicha recta.
Solución:

AB (3 + 2, 4 – 1) = (5, 3)

Y

Y

P(1, 4)B(3, 4)
AB

X

AB(5, 3) X

A(– 2, 1)
O

8

v(2, – 3)

Ecuación vectorial:
8 Representa la recta que pasa por los puntos A(– 2, 3)

y B(1, 2). Halla un vector director y la pendiente
de dicha recta.
Solución:

(x, y) = (1, 4) + t(2, – 3); t é ‫ޒ‬
Ecuaciones paramétricas:
x = 1 + 2t
y = 4 – 3t

Y

;t é ‫ޒ‬

Ecuación continua:
x–1 y–4
—— = ——
2
–3

B(1, 2)
3
–1
8v(3, – 1)

X

Ecuación general:
– 3x + 3 = 2y – 8

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

A(– 2, 3)
a

}

3x + 2y – 11 = 0
Ecuación explícita:
8

Ä8

v = AB (1 + 2, 2 – 3) = (3, – 1)

2y = – 3x + 11

1
m = tg a = – —
3

3x 11
y = –— + —
2
2

282

SOLUCIONARIO

10 Dada la recta 2x + 3y = 6, ¿qué tipo de ecuación es?

Halla un punto, un vector normal, un vectordirector y la pendiente. Haz la representación gráfica.

Y

Solución:
P(0, 2)

Es la ecuación general.

X

Para x = 0 ò 3y = 6 ò y = 2 ò P(0, 2)
8

8

n (A, B) ò n (2, 3)
8

8

v(3, – 2)

8

v (B, – A) ò v (3, – 2)
2
m = tg a = – —
3

3. Otras ecuaciones de la recta

PIENSA Y CALCULA
Dibuja la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(5, 5) y halla su pendiente....