Geometria Analitica

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la fuerza Armada
Núcleo caracas
Periodo Académico Septiembre 2007-Enero 2008
Ciclo Básico de Ingeniería en Sistemas y Telecomunicaciones
Geometría Analítica



Guía de la unidad III

Transformación de Coordenadas.

Transformación: es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.Analíticamente, la ley se expresa por una o más ecuaciones de transformación.

Traslación de los ejes
Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen 0’ (h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x, y) y (x’, y’), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:[pic]






Rotación de los ejes coordenados.

Si los ejes coordenados giran un ángulo [pic] en torno de su origen como centro de rotación, y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y después de la rotación son (x, y) y (x`, y`), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema de coordenadas estándadas por:
[pic]





Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas.

Si efectuamos un cambio de ejes coordenados mediante una traslación y una rotación, tomadas en cualquier orden, y las coordenadas de cualquier punto P referido a los sistemas original y final son x, y) y (x’’, y’’), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema original alnuevo sistema de coordenadas son:
[pic]


En donde [pic] es el ángulo de rotación y (h, k) son las coordenadas del nuevo origen referido a los ejes coordenados originales.

Observación: Aunque las ecuaciones de Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas pueden emplearse cuando se van a efectuar simultáneamente una traslación y una rotación, es, generalmente, más sencillo,efectuar estas operaciones separadamente en dos pasos diferentes. El orden de estas operaciones no tiene importancia. Sin embargo, en el caso de una ecuación de segundo grado en la cual los términos en [pic] y [pic] forman un cuadrado perfecto, los ejes deben girarse primero y trasladarse después.

Ejemplo:
Por transformación de coordenadas, simplificar la ecuación [pic] trácese el lugargeométrico y todos los sistemas de ejes coordenados.
Solución:
Como los términos de segundo grado de la ecuación no forman un cuadrado perfecto, primero se trasladan los ejes a un nuevo origen (h, k), utilizando las ecuaciones de traslación de ejes [pic]
Sustituyendo en la ecuación dada se obtiene:
[pic]. Al desarrollar, simplificar y agrupar términos toma la forma:
[pic](II)
Luegoigualamos los coeficientes de los términos de primer grado y obtenemos el sistema:
[pic]

Desarrollando este sistema por cualquier método su solución es [pic]. Sustituyendo estos valores en (II) nos queda [pic]
Ahora se trabaja esta ecuación utilizando las ecuaciones de rotación de ejes[pic]

3([pic])2 – 2 ([pic])([pic]) + 3([pic])2 – 2 = 0
Efectuando se reduce a:[pic] (III)
Para eliminar el término en [pic] igualamos sus coeficientes a cero y se obtiene:
[pic]
[pic]
Sustituyendo a [pic] (III) obtenemos la ecuación buscada que es [pic]. Por lo tanto el lugar geométrico de esta ecuación es una elipse.

Ecuación general de segundo grado.

Teorema: Una ecuación de segundo grado [pic] en el cual [pic]se puede transformar mediante una traslación deejes en una ecuación de las formas:
[pic]
Si [pic], una de estas formas se puede obtener mediante una rotación y una traslación (si es necesario). El ángulo de rotación (se escogió agudo) se obtiene a partir de la ecuación:
[pic] , o bien [pic]
Por este teorema se ve cómo se encuentra el valor de [pic]. Sin embargo, las fórmulas de rotación contienen a [pic]....