Geometria Analitica

ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Concepto:
Suponga que x y y se dan como función de una tercera variable t (llamada parámetro) mediante las ecuaciones:
x=f(t) y=g(t)
(Llamadas ecuaciones paramétricas). Cada valor de t determina un punto (x,y), que se puede representar en un sistema coordenado. Cuando t varía, el punto (x,y)=(f(t),g(t)) varía y traza una curva C, a la cual se le llama curvaparamétrica. El parámetro t no necesariamente representa el tiempo y, de hecho, se podría usar una letra distinta para el parámetro. Pero en muchas aplicaciones de curva paramétricas, t denota el tiempo y, por lo tanto, se puede interpretar a (x,y)=(f(t),g(t)) como la posición de una partícula en el tiempo t.
Ejemplo: Bosqueje e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas:
x=t2-2ty=t+1
Solución: cada valor de t da un punto sobre la curva, como se muestra en la tabla. Por ejemplo, si t=0, en el caso x=0, y=1; así, el punto correspondiente es (0,1). En la figura 2 se grafican los puntos (x,y) determinados por varios valores del parámetro y se unen para producir una nueva curva.
t | x | Y |
-2 | 8 | -1 |
-1 | 3 | 0 |
0 | 0 | 1 |
1 | -1 | 2 |
2 | 0 | 3 |
3 |3 | 4 |
4 | 8 | 5 |


Una partícula cuya posición está dada por las ecuaciones paramétricas, se mueve a lo largo de la curva en la dirección de las flechas a medida que se incrementa t. Note que los puntos consecutivos marcados en la curva aparecen a intervalos de tiempo iguales, pero no a iguales distancias. Esto es porque la partícula desacelera y después acelera a medida que aumenta t.Según se observa de la figura 2, la curva trazada por las partículas puede ser una parábola. Esto se puede confirmar al eliminar el parámetro t como sigue. Se obtiene t=y-1 de la segunda ecuación y se sustituye en la primera. Esto da:
x=t2-2t=(y-1)2-2y-1= y2-4y+3
Y, por lo tanto, la curva representada por las ecuaciones paramétricas es la parábola
x=y2-4y+3
En el ejemplo 1 el parámetro t fueirrestricto, así que se supone que t podría ser cualquier número real. Pero algunas veces t se restringe a estar en un intervalo finito. Por ejemplo, la curva paramétrica
x=t-2t y=t+1 0≤t≤4

Mostrada en la figura 3 es la parte de la parábola del ejemplo 1 en el punto (0,1) y termina en el punto (8,5). La cabeza de la flecha indica la dirección en la quese traza la curva cuando t crece de 0 a 4.

En general, la curva con ecuaciones paramétricas
x=ft y=gt a≤t≤b
Tiene punto inicial (f(a),g(a)) y punto terminal (f(b),g(b)).

Aplicación:
Simulación de movimiento
Una de las aplicaciones de las ecuaciones paramétricas es para conocer el movimiento de objetos.
Ejemplo:
La compañía de cruceros Royal Caribbean tiene doscruceros en el puerto de Corpus Christ que necesitan llegar al puerto de st. Petersburgo. Uno es el oasis of the seas y el otro es el liberty of the seas, el oasis tiene la siguiente ecuación paramétrica que describe su movimiento
x=22t e y=2,
y el liberty
x=18t e y=1

¿Cuánto tardan en llegar los cruceros a su destino?
* El oasis of the seas tiene las ecuaciones paramétricasx=22t e y=2,
St. Petersburg está a 900 millas directamente al este.

Para hallar el tiempo que le lleva al oasis of the seas cubrir una distancia horizontal de 900 millas, resolvemos

22t=900

De lo cual obtenemos:

t=40.9

Entonces, le lleva aproximadamente 40.9 horas al crucero llegar a St. Petersburg.

* El liberty of the seas tiene las ecuaciones paramétricasx=18t e y=1

St. Petersburg está a 900 millas directamente al este.

Para hallar el tiempo que le lleva al oasis of the seas cubrir una distancia horizontal de 900 millas, resolvemos

18t=900

De lo cual obtenemos:

t=50

Entonces, le lleva aproximadamente 50 horas al crucero llegar a St. Petersburg.

Una vez identificado el crucero más rápido, encontraremos en qué...