Geometria Analitica
Páginas: 7 (1707 palabras)
Publicado: 5 de junio de 2012
Departamento de Ciencias Básicas
Matemáticas I
Módulo Tres
Elementos de Geometría Analítica
Plano Cartesiano
El plano cartesiano está determinado por dos rectas (ejes), una horizontal y otra vertical que se intersectan en un punto llamado origen. La recta horizontal es el eje de las abscisas o eje “ ”, y la vertical es el eje de las ordenadas o eje “ ” el punto de intersección de losejes recibe el nombre de origen y se representa por (0,0).
Los elementos del plano cartesiano reciben el nombre de puntos los cuales se representan mediante pares ordenados donde . Las coordenadas de los puntos del plano cartesiano se obtienen asociando un valor del eje “ ” y uno del eje “ ”, respectivamente. Esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano respecto a suscoordenadas, y se representa como:
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x , se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de y , se cuentan las unidadescorrespondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Departamento de Ciencias Básicas
Matemáticas I
Ejemplo: Localizar el punto
A(−4, 5) en el plano cartesiano.
Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el planocartesiano. Teorema: Distancia entre dos Puntos.
Sean P = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) dos puntos en el plano. 1 La distancia entre los puntos P y 1
P2 denotada por d ( P , P2 ) está dada por: 1
d ( P , P2 ) = 1
Demostración:
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2
2
En la figura siguiente se ubican los puntos P = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) , y el segmento P P2 1 1
De la construcción enla figura y la relación pitagórica se tiene que:
d ( P , P2 ) = 1
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2
2
Departamento de Ciencias Básicas
Matemáticas I
Ejercicios: 1. Calcule la distancia entre los puntos que se indican: a. b.
P = (−1,1) y Q = (1, 0)
1 A1 = ( 3 , − 1) y A2 = 2 , 2
2.
Determine el valor de p de modo que
d ( P1 , P2 ) = 10 , si P1 = ( p , 0) ; P2 =(0 ,1)
3.
A = (1,1) ; B = (5 ,1) y C = (3,4)
Calcule
el
perímetro
del
triángulo
de
vértices
,
siendo
Teorema:
El Punto Medio de un segmento
El Punto medio del segmento P P2 donde P = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) viene dado por: 1 1
x +x y +y M = 2 1 , 2 1 . 2 2
Demostración: Observe la figura
Departamento de Ciencias BásicasMatemáticas I
Ejercicios: 1. En cada caso, determine el punto medio del segmento a) A = (1,3 ) y B = ( −1,5 ) b) A1 = 2.
AB
(1 , - 1 ) 2
y B =
(1 , - 5 ) 3
Determine los valores de de modo que el punto medio del segmento AB sea (2,3), donde A = (p, 2q ), B = (- 5, 3 )
Ecuación de la Recta.
Se distinguen dos casos: la recta vertical y la recta no vertical La recta vertical determinadapor la ecuación
,
La recta no vertical determinada por la ecuación
El valor de m corresponde a la pendiente de la recta, y
es el intercepto con el eje y.
Dependiendo del valor de la pendiente se tienen las siguientes representaciones: Pendiente Positiva: m > 0 Pendiente Negativa: m < 0 Pendiente Nula:
m=0
La recta no vertical también se representa por la ecuación a, b y cconstantes reales
con
Departamento de Ciencias Básicas
Matemáticas I
Ejemplos: 1. Para la ecuación de la recta y
= 4x + 7
Se tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7). 2. ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta: Desarrollo:
4x − 6 y + 3 = 0 ?
4x − 6 y + 3 = 0 → y =
2 1 2 x + de donde m =...
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Módulo Tres
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Plano Cartesiano
El plano cartesiano está determinado por dos rectas (ejes), una horizontal y otra vertical que se intersectan en un punto llamado origen. La recta horizontal es el eje de las abscisas o eje “ ”, y la vertical es el eje de las ordenadas o eje “ ” el punto de intersección de losejes recibe el nombre de origen y se representa por (0,0).
Los elementos del plano cartesiano reciben el nombre de puntos los cuales se representan mediante pares ordenados donde . Las coordenadas de los puntos del plano cartesiano se obtienen asociando un valor del eje “ ” y uno del eje “ ”, respectivamente. Esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano respecto a suscoordenadas, y se representa como:
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x , se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de y , se cuentan las unidadescorrespondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
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Ejemplo: Localizar el punto
A(−4, 5) en el plano cartesiano.
Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el planocartesiano. Teorema: Distancia entre dos Puntos.
Sean P = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) dos puntos en el plano. 1 La distancia entre los puntos P y 1
P2 denotada por d ( P , P2 ) está dada por: 1
d ( P , P2 ) = 1
Demostración:
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2
2
En la figura siguiente se ubican los puntos P = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) , y el segmento P P2 1 1
De la construcción enla figura y la relación pitagórica se tiene que:
d ( P , P2 ) = 1
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2
2
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Ejercicios: 1. Calcule la distancia entre los puntos que se indican: a. b.
P = (−1,1) y Q = (1, 0)
1 A1 = ( 3 , − 1) y A2 = 2 , 2
2.
Determine el valor de p de modo que
d ( P1 , P2 ) = 10 , si P1 = ( p , 0) ; P2 =(0 ,1)
3.
A = (1,1) ; B = (5 ,1) y C = (3,4)
Calcule
el
perímetro
del
triángulo
de
vértices
,
siendo
Teorema:
El Punto Medio de un segmento
El Punto medio del segmento P P2 donde P = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) viene dado por: 1 1
x +x y +y M = 2 1 , 2 1 . 2 2
Demostración: Observe la figura
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Ejercicios: 1. En cada caso, determine el punto medio del segmento a) A = (1,3 ) y B = ( −1,5 ) b) A1 = 2.
AB
(1 , - 1 ) 2
y B =
(1 , - 5 ) 3
Determine los valores de de modo que el punto medio del segmento AB sea (2,3), donde A = (p, 2q ), B = (- 5, 3 )
Ecuación de la Recta.
Se distinguen dos casos: la recta vertical y la recta no vertical La recta vertical determinadapor la ecuación
,
La recta no vertical determinada por la ecuación
El valor de m corresponde a la pendiente de la recta, y
es el intercepto con el eje y.
Dependiendo del valor de la pendiente se tienen las siguientes representaciones: Pendiente Positiva: m > 0 Pendiente Negativa: m < 0 Pendiente Nula:
m=0
La recta no vertical también se representa por la ecuación a, b y cconstantes reales
con
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Ejemplos: 1. Para la ecuación de la recta y
= 4x + 7
Se tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7). 2. ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta: Desarrollo:
4x − 6 y + 3 = 0 ?
4x − 6 y + 3 = 0 → y =
2 1 2 x + de donde m =...
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