Geometria Analitica

2012
GEOGRAFIA ANALITICA






LA GEOMETRIA ANALITICA

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con eldesarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.
Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas,obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo , donde es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (porejemplo, ), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia , la hipérbola ), etc.

Ecuaciones de la recta en el plano
Artículo principal: Función lineal.
Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.
La ecuacióngeneral de la recta es de la forma:

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.
Una recta en el plano se representa con la Función lineal de la forma:

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como losdos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:
• Las rectas verticales
• Las rectas horizontales
• Las rectas oblicuas.

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* Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto decorte con el eje de abscisas es el punto. La ecuación de dichas rectas es:

* Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto . La ecuación de dichas rectas es:

* Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un puntode corte con el eje de abscisas y otro punto de corte con el eje de ordenadas . El valor recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el se denomina ordenada en el origen.

Ecuaciones de la parábola en el plano
La Parábola
Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Una parábola (figura A) cuyo ejede simetría sea paralelo al eje de abcisas se expresa mediante la ecuación:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2, |
Agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma. |
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares perointercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma. |

Grafica:

La circunferencia.
Es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio. |
A...