Geometria Analitica

SUPERFICIE CUADRICA
Una superficie cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x, y, z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo:
P(x y z) = A x2 + By2 +C z2 + D xy + E xz + F yz + G x + H y + I z + J = 0
Siendo las más importantes el elipsoide, hiperboloide, paraboloide, los conos y los cilindros.
Observación (Notación matricial):
Siconsideramos las matrices:
X a11 a12 a13 b1
X = y A = a11 a12 a13 (Simétrica) B = b2
Z a12 a22 a32 b3
a13 a23 a33
La ecuación de la cuádrica puede escribirse:
Xt AX +2BtX + c = 0

Hay seis tipos básicos de superficies cuádricas:
• Elipsoide
• Hiperboloide de una hoja
• Hiperboloide de dos hojas
• Paraboloide elíptico
• Paraboloide hiperbólico
• Conoelíptico

A la intersección de una superficie con un plano se le llama TRAZA de la superficie en el plano. Las trazas de las superficies cuádricas son cónicas.







ELIPSOIDE
Es la superficieengendrada por una elipse de semiejes variables a y b que se mueve perpendicularmente al eje 2c de una segunda elipse, de forma que los extremos del eje 2a se apoyan continuamente sobre la segundaelipse, y el eje 2b varía según una relación de semejanza establecida respecto del eje 2a.
x2 y2 z2
+ + = 1
a2 b2 c2

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
Es el cuerpo engendrado por una elipse que semueve de forma paralela y semejante a sí misma, apoyando continuamente los extremos de sus ejes sobre las dos ramas de una hipérbola.
x2 y2 z2
+ - = 1
a2 b2 c2



HIPERBOLOIDE DE DOSHOJAS
Si la elipse del cuerpo anterior se apoya únicamente en la parte interior de una rama de la hipérbola y posteriormente en la otra, entonces resulta el hiperboloide de dos hojas.

z2 x2 y2- - = 1
c2 a2 b2


PARABOLOIDE ELIPTICO
El paraboloide, análogamente a la parábola en las secciones cónicas, es una superficie sin centro que, en el caso general de ser elíptico, se...