geometria analitica

Geometría Analítica

El objetivo fundamental de la Geometría Analítica consiste en crear representaciones visuales de los conceptos matemáticos mediante el uso de los sistemas coordenados, como también de resolver algebraicamente los problemas de la geometría.
Comenzaremos este estudio analizando las propiedades de las líneas rectas, iniciando esto con la definición de segmento: es aquellaparte de una línea recta que queda entre dos puntos señalados sobre ella.


Sea L una línea recta sobre la cual hemos señalados los puntos A y B, la porción de la recta comprendida entre los puntos A y B es un segmento cuyos extremos son A y B, donde A es el origen y B en punto final del segmento.

Sistemas de Coordenadas: es un conjunto de valores que permiten definir inequívocamente laposición de cualquier punto de un espacio Euclideo.

Sistema de coordenadas Lineal: Corresponde a la dimensión uno, el cual representaremos con el eje X, en este eje hay un centro de coordenadas, que representaremos con la letra O (de Origen). Un punto cualquiera de la recta puede representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda.Al punto A le corresponde el numero real x1, el cual recibe el nombre de coordenada del punto A, para el punto B le corresponde la coordenada x2. Al centro de coordenadas O (letra O) le corresponde la coordenada cero (cero). El punto A con su coordenada es la representación grafica del numero real x1, y la coordenada x1 es la representación analítica del punto A. La coordenada y su punto loescribiremos así: A(x1).
En un sistema coordenado lineal la distancia entre los puntos que definen un segmento en una línea recta, es el valor absoluto de restar la coordenada del punto inicial al punto final, por lo que la distancia d entre dos puntos A y B de coordenadas x1 y x2 esta dada por:
dAB = | x2 - x1 | = ||
Seria la longitud del segmento limitado por los puntos A y B que sepodría expresar también como , en ambos casos estas longitudes serian iguales, la diferencia estriba en que un segmento dirigido en un sentido será considerado de longitud positiva, mientras que en otro negativa, si consideramos el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa y se cumple que: = -
Ejemplo. Calcular la distanciaentre los puntos A(-3) y B(4), solución:
dAB = | 4 – (-3) | = |7| = 7
En donde la longitud del segmento = 4 – (-3) = 7, mientras la longitud del segmento = -3 -4 = -7.
Ejemplo. Sea un punto P de coordenada 3, hallar los puntos que se encuentra a una distancia de 2, solución:
Hay dos soluciones para este problema ya que hay un punto que esta a la distancia de 2 unidades a la izquierda de Py otro punto que esta a la distancia de 2 unidades a la derecha de P

Para el primer caso:
d = 2 = 3- x1 donde x1 = 3 – 2 = 1
Para el segundo caso:
d = 2 = x2 - 3 donde x2 = 3 +2 = 5
Sistema de coordenadas cartesiano: Este sistema está formado por dos rectas o ejes, perpendiculares entre sí, generalmente un eje es horizontal y el otro vertical, que al interceptarse forman ángulosrectos y dividen al plano donde están contenidos en cuatro partes llamados cuadrantes (I, II, III y IV), las cuales se enumeran en el sentido contrario de las manecilla del reloj, como se muestra en la Figura:



Considerando que cada eje es una recta numérica que contienen todos los números reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal y de abajo a arriba en el ejevertical, es decir todos los números positivos están a la derecha y arriba del origen (O) y los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen. Al eje horizontal se le llama eje de las X o de las Abscisas, y al eje vertical de las Y o de las Ordenadas. Para la ubicación de un punto cualquiera en el plano se consideran las distancias a los ejes, que son sus Coordenadas. La distancia de un punto al...