Geometria analitica

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´tica y C.C.
a

Guia Geometr´ Anal´
ıa
ıtica 22103
Trigonometr´
ıa-Parte 1

Profesor: Rodrigo P´rez A.
e
Primer Semestre 2014

1. Evaluar las seis funciones trigonom´tricas del angulo θ, si θ est´ en posici´n
e
´
a
o
normal o estandar y si su lado terminal pasa por el punto dado
√ √
a) (3, 7) b) (6,−8) c) (− 2, 3) d) (−7, −15) e) (8, −1) f ) (11, −π)
2. Indicar el signo de las funciones trigonom´tricas de los angulos dados:
e
´
a) sen 155◦

b) cos 240◦

c) tg 298◦

d) sec 187◦

e) cosec 317◦ f ) cotg 668◦

3. En los siguientes problemas se da el valor de una de las funciones trigonom´tricas
e
del angulo θ. Con este valor y la informaci´n adicional, determinar los valores
´
ode las restantes funciones trigonom´tricas restantes de θ.
e
a) cosec θ = 4, θ est´ en el cudrante II.
a
1
a
b) cos θ = − , θ est´ en el cudrante III.
5
c) tg θ = −3, θ est´ en el cuadrante II.
a
7
d ) sen θ = , θ est´ en el cuadrante I.
a
10
4. Dado el tri´ngulo rect´ngulo de cateto opuesto al angulo θ de longitud 3 y cateto
a
a √
´
adyacente de longitud 2 10, encontrar el valorde
i) tg θ cotg θ − sec θ cosec θ
5. En un

ii) 2 sen θ cos θ −

tg θ − cotg θ
1 + tg θ cotg θ

ABC, rect´ngulo en C, donde sec α = 13/5, calcular el valor de
a
2 sen α − 3 cos α
4 cosec α − 9 cotg α

1

6. En un

ABC, rect´ngulo en C, demostrar que
a
i) tg α + tg β =

c2
ab

ii)

sen2 α cos2 α
a4 − b 4
−
=
sen2 β cos2 β
a2 b 2

7. En el tri´ngulo ABC laperpendicular AD de A a BC mide 6 unidades: y los
a
5
angulos B y C tienen cosenos 13 y 4 respectivamente. Hallar la longitud de los
´
5
lados AB y AC.
8. Dado que:
5 sen α + 7 cos α
4
, encontrar
.
15
6 cos α − 3 sen α
m2 + 1
b) sec A =
, encontrar sen A y tg A.
2m

a) tg α =

9. Determinar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1) sen 60◦ < 2 sen 30◦
3) tg 60◦ > tg45◦
5) sen 60◦ + sen 30◦ = sen 90◦

2) 2 sen 45◦ cos 45◦ < sen 90◦
4) cos 47◦ = cosec 43◦
cos 40◦
6) tg 50◦ =
cos 50◦

10. Si 3 sen θ + 5 cos θ = 5 mostrar que (3 cos θ − 5 sen θ)2 = 9.
11. Si (a + b) sen θ = (a − b) calcular

cotg2 θ − cos2 θ.

12. Expresar cos( π + α) + sen(π − α) − sen(π + α) − sen(−α) en t´rminos de sen α.
e
2
2
13. Si θ es un ´ngulo en el segundo cuadrantetal que tg θ = − ,¿es v´lida la siguiente
a
a
3
igualdad?
√
tg(90◦ + θ) − cos(180◦ + θ)
2 + 13
√
=−
sen(270◦ − θ) − cotg(−θ)
2 − 13
14. Demostrar las siguientes identidades trigonom´tricas:
e
1) tg2 α cosec2 α cotg2 α sen2 α = 1 2) (tg α cosec α)2 − (sen α sec α)2 = 1
3)

sec A − cosec A
tg A − 1
=
sec A + cosec A
tg A + 1

4)

sen3 x + cos3 x
5)
= 1 − sen x cos x
sen x +cos x
15. Probar las siguientes igualdades:

2

sen B cos B
tg B
=
2 B − sen2 B
cos
1 − tg2 B

6) sen4 θ − 2 sen2 θ = cos4 θ − 1

2(sen4 α + cos4 α)
sen2 α cos2 α
(tg θ + sec θ − 1) cos θ = (1 + sen θ)(tg θ − sec θ + 1)
sen β
cos β
+
= sen β + cos β
1 − cotg β 1 − tg β
cosec y · (sec y − 1) − cotg y · (1 − cos y) = tg y − sen y
4 cosec γ
1 + sen γ sec γ − tg γ
·
=
1 −sen γ sec γ − tg γ
cosec2 γ − 1

a) (tg α + cotg α)2 + (tg α − cotg α)2 =
b)
c)
d)
e)

16. Probar las siguientes identidades trigonom´tricas:
e
1)

1
1
1
1
+
= 2 sec2 α 2)
+
=1
2β
1 − sen β 1 + sen β
1 + sen
1 + cosec2 β

1 + tg2 α
3)
=
1 + cotg2 α

1 − tg α
1 − cotg α

2

4) cos2 β (sen2 β − tg2 β) + sen2 β (cosec2 β − cotg2 β) = 1
5) sen4 β + 2 sen2 β 1 −1
cosec2 β

= 1 − cos4 β

1 + cos α sec α − 1
4
−
− 4 cotg2 α =
1 − cos α 1 + sec α
1 + sec α
2
2
1 − sen x cos x
sen x − cos x
7)
·
= sen x
cos x (sec x − cosec x) sen3 x + cos3 x
6)

8)

cotg3 x
1 − 2 sen2 x cos2 x
tg3 x
+
=
1 + tg2 x 1 + cotg2 x
sen x cos x

17. Verificar las siguientes igualdades:
1)

sec2 x − 1
− (1 − sen2 x) cosec2 x = 1 2) 1 − sen4 x =...