Geometria analitica

Capitulo7
Proporcionalidad y semejanza. Teorema de Thales. Homotecias. Longitud de la circunferencia y área del círculo.

Teorema:
las áreas de triángulos de igual altura son proporcionales a las longitudes de sus respectivas bases.
Teorema: teorema fundamental de la proporcionalidad.
Toda recta paralela a uno de los lados de un triangulo interseca a las rectas que contienen a los otros doslados dividiéndolos en segmentos proporcionales. Inversamente, si una recta secante a las rectas que contienen a dos lados de un triángulo los divide en segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado.
Corolario:
En todo triangulo, la bisectriz de cualquier de sus ángulos interiores divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes al ángulo.
Corolario:teorema de Thales.
Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos que la paralelas determinan en una de ella son proporcionales a los determinados en la otra.
Corolario:
Si dos rectas t y t’ son cortadas por tres secantes r1,r2,r3 respectivamente en los puntosA1,A2,A3 y A'1,A'2,A'3 tales que A1A2A2A3=A'1A'2A'2A'3 y además, dos de las secantes son paralelas,resulta la tercera secante paralela a las otras dos.
Definición:
Dos triángulos ⊿ABC y ⊿A'B'C'se llaman semejantes si A=A',B=B',C=C' y lo lados homologos son proporcionales, es decir, ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'.la semejanza de triángulos se indican con el simbolo ≈, asi ⊿ABC≈⊿A'B'C' .
Teorema:
Toda paralela a un lado de un triángulo determina con las rectas que contienen a los otro dos lados de untriangulo semejante al dado.
Corolario: primer criterio de semejanza de triángulos (CS1).
Sean dos triángulos ⊿ABC y⊿A’B’C’. Si un par de lados es proporcional al par de lados homologos y los angulos comprendido por dichos lados son congruentes, entonces ⊿ABC≈⊿A'B'C'.
Corolario: segundo criterio de semejanza de triángulos (CS2).
Sean ⊿ABC y⊿A’B’C’. Si poseen dos pares de ángulos congruentes,⊿ABC≈⊿A'B'C'.
Corolario: tercer criterio de triángulos (CS3).
Sean dos triángulos ⊿ABC y⊿A’B'C'. Si todos sus lados homólogos son proporcionales, entonces ⊿ABC≈⊿A'B'C.
Corolario: cuarto criterio de semejanza de triangulo (CS4).
Sean dos triángulos ⊿ABC y⊿A’B’C’. Si un par de lados es proporcional al par de lados homólogos y los ángulos que se oponen respectivamente a los mayores de dichos lados soncongruentes, entonces ⊿ABC≈⊿A'B'C'.
Definición:
Un numero real a>0 es medio proporcional entre otros dos b>0 y c>0 si solo si a2=bcba=ac .
Teorema: segmento proporcional en un triangulo rectángulo.
En todo triangulo rectángulo vale que:
1. Cada cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la misma.
2. La altura correspondiente a la hipotenusa esmedio proporcional es medio proporcional entre dos segmentos en que aquella divide a esa.
Teorema:
Sea C una circunferencia y P∉C.
1. Si s y s’ son rectas secantes a C tales que:
s∩s'=P, s∩C=A,B,s'∩C=M,N,resulta AP.BP=MP.NP
2. Si s recta secante a C y t recta tangente a C son tales que
s∩t=P,s∩C=A,B, t∩C=Q,resulta AP.BP=QP2Definición:
Dada una circunferencia C y un punto
P∉C, se denomina potencia de P conrespecto a C al producto PA.BP, donde
A,B=s∩C y s es cualquier recta secante a C por P.
Corolario:
Si O y r son respectivamente el centro y el radio de C y d=OP, la potencia de P con respecto a C es igual d2-r2.
Definición:
* Se llama transformación de semejanza a toda aplicaciónbiunívoca del plano sobre sí mismo por el cual, si X e Y son dos puntos cualesquiera y X1eY1 son sus respectivos transformados, la razón X1Y1XY permanece constante, es decir, no depende de X e Y. La razón X1Y1XY se denomina razón o coeficiente de semejanza.
* Dos figuras F y f se dicen semejantes si existe una transformación de semejanza S talque S (f)=F.
* Sea O un punto del plano y...