Geometria Analitica

Obtener la ecuación de la circunferencia conocida su gráfica
Para lograrlo debemos conocer dos elementos importantes:
- el centro de la circunferencia (C), dado por sus coordenadas
- el radio (r) de la misma circunferencia
Definido esto, tendremos dos posibilidades:
 
A) Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)
B) Y circunferencia con centro(C) fuera del origen de las coordenadas; expresado, por ejemplo, como C (3, 2).
Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)
A continuación analizaremos cuatro casos
Caso 1
Veamos la gráfica siguiente:

Los datos que nos entrega son:
Centro:  C (0, 0), el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y
radio: r = 3, lo indica el 3 en cada unade las coordenadas.
Recordar esto:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha circunferencia en forma analítica (Geometría analítica). Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.
Para la gráfica de nuestro ejemplo, reemplazamos el valor de r en la fórmula x2 + y2 = 32 
y nos queda   x2 + y2 = 9 como la ecuación reducida de lacircunferencia graficada arriba.
Ojo:
Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 9 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 3 (32 = 9 y la raíz cuadrada de 9 es 3)
 
Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)
Caso 2Veamos la gráfica siguiente:

 
Los datos que nos entrega son:
Centro:  C (0, 0), el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y
radio: r, lo desconocemos, pero tenemos un dato: el punto P (3, 4) ubicado en la circunferencia.
Recordemos de nuevo:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha circunferencia en formaanalítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.
Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x2 + y2 = r2 , pero resulta que no lo conocemos.
Entonces, a partir del dato P (3, 4) podemos calcular el valor del trazo que une este punto con el centro C (0, 0) (trazo PC con línea punteada en la figura), el cual corresponde al radio de la circunferencia dada.¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre P y C (el radio de la circunferencia)?
Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:

No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos; por lo mismo, debemos saber que en ella
(x2 ─ x1)2 representa al punto 1, y ese punto 1 (P1) lo haremoscorresponder con el punto que pasa por el centro C (0, 0)
(y2 ─ y1)2  representa al punto 2, y ese punto 2 (P2) lo haremos corresponder con el punto que pasa por P (3, 4).
Es muy importante conocer o designar este orden ya que

Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la distancia (d) entre los dos puntos que nos interesan, la cual seránuestro radio:

El 5 nos indica la distancia entre los dos puntos, el centro de la circunferencia y uno de sus puntos, lo cual corresponde al radio.
Recapitulemos:
Para expresar u obtener la ecuación de una circunferencia cuyo centro está en el origen, necesitamos conocer el centro, ya sabemos que es C (0, 0), y conocer el radio, que ahora sabemos que es 5.
¿Se acuerdan cuál es la fórnula?Esta:  x2 + y2 = r2
Reemplazamos en ella el valor del radio
x2 + y2 = 52 y nos queda
x2 + y2 = 25 como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba (en la cual nos indicaron un centro y un punto en ella).
Ojo:
Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 25 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el...