Geometria analitica

Índice
Introducción
Geometría analítica
Línea recta
La parábola
La elipse
La hipérbole
La circunferencia
Rotación de ejes
Conclusión
Anexo
Historia de la geometría analítica
Bibliografías

Introducción
La geometría analítica es rama de las matemáticas cuyo objeto de estudio son las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio recibe el nombre de geometría.Esta disciplina apela a los sistemas axiomáticos para representar la realidad; de esta manera, utiliza artificios matemáticos formados por símbolos que le permiten crear cadenas, que, a su vez, se relacionan mediante ciertas reglas y generan nuevas cadenas.
Existen distintas clases de geometrías, como la descriptiva, la proyectiva, la plana y la geometría del espacio.

GEOMETRIA ANALITICA
Seconoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática.
La idea quellevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano.
Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y como vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondencias anteriores. 
Además, Descartes y Fermatobservaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.
En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones poli nómicas de primer grado y las circunferencias y el resto decónicas como ecuaciones poli nómicas de segundo grado.
En la práctica, eso significa que cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares (Plano cartesiano) anotando las distancias desde dicho punto a cada uno de los ejes.
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Un par de ejes perpendiculares (x e y). |
Por ejemplo, en la figura 1, el punto A está a 1 unidad hacia la derecha en el ejehorizontal (x) y a 4 unidades hacia arriba en el eje vertical (y). Las coordenadas del punto A son, por tanto, 1 y 4, y el punto queda fijado con las expresiones x = 1, y = 4.
Los valores positivos de x están situados a la derecha del eje y, y los negativos a la izquierda; los valores positivos de y están por encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el punto B de la figura 1 tiene porcoordenadas x = 5, y = 0.
En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal con dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0.
De la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la circunferencia, la elipse y otras cónicas y curvas regulares.
Ahora tenemos claro que la geometría analítica se desenvuelve en el llamado Plano cartesiano, y sirecordamos, como ya dijimos, que Descartes y Fermat observaron la correspondencia entre las ecuaciones algebraicas y las figuras geométricas, podemos colegir que los dos objetivos (o problemas) fundamentales de la geometría analítica son:
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A cada punto le corresponde un par ordenado, y a cada par ordenado le corresponde un punto. |
1.- Dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos olugar geométrico (una línea o una figura geométrica) en un sistema de coordenadas, obtener la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos.
Para este objetivo, siguiendo con el ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea recta que pasa por A y B cumplen la ecuación lineal x + y = 5; lo que expresado de modo general es  ax + by = c.
2.- El segundo objetivo (o tipo de problema)...