Geometria Analitica

FACULTAD DE INGENIERÍA

CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA
UNIDAD II: Matrices Y Sistemas Lineales SESIÓN 1: Matrices, Determinantes Y Sus Aplicaciones SOLUCIONARIO
7 4 9 Sea la matriz: A   3 1 5 , Halle: a13  a32  a22  a23 y la transpuesta de A.   5 2 6   SOLUCIÓN

1.

a13  a32  a22  a23  9  2  1   5   17 7 3 5  A  4 1 2   9 5 6   
T

2.

Halle la trazade A   aij  , para la cuál aij  i  j  2.  33 SOLUCIÓN

 a11 A   a21   a31 
Luego:

a12 a22 a32

a13  a23   a33  



a11  1  1  2  0  a21  2  1  2  1 a  3  1  2  2  31

a12  1  2  2  1 a22  2  2  2  2 a32  3  2  2  3

a13  1  3  2  2 a23  2  3  2  3 a33  3  3  2  4

0 1 2 A  1 2 3     2 3 4  



traza A  0  2  4  6

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3.

Construya la matriz, usando la ley de formación indicada: a) A  aij  , aij  2i  3 j   2 2 f) C  cij  ,   3 4 b) A  aij  , aij  2i  3 j   2 2 c) d) e)

B  bij   

33

,

bij  3 j  i 2
bij  3i  ij  2
bij   1
i j

B  bij  ,   4 4
B  bij  ,   4 4

g)
 j2

i

2



C  cij ,   33

i  j  cij  0 2i  j  i  j  cij  i j i  j 

; ; ;

i j i j i j

; ; ;

i j i j i j

SOLUCIÓN: a)

a A   11  a21

a12  a22  



a11  2 1  3 1  1   a21  2  2   3 1  1 

a12  2 1  3  2   4 a22  2  2   3  2   2

 1 4 A   1 2
b)

c)

d)

 1 7  A   1 5  2 5 8 B   1 2 5    6 3 0    4 3 2 1  6 4 2 0   B  8 5 2 1   10 6 2 2 

e)

f)

 0  3 B  8   15 0 0 C  3 0  4 5 

3 0 5 12
1 1 0

15  5 12   0 7   7 0  2  0  2 

8

g)

1 3 4  C  2 4 5     3 6 27   

4.

 1 3 8   2 8 1   2 0 1 y B   5 7 3  . Calcule (si es posible): A+B, A-B, 2A+B, Sean las matrices: A       4 6 05 7 6     3A-5B, AB, BA. SOLUCIÓN:

 1 5 A B   3 7   9 13   13 3 A  5B   31   5 

9 2 ,  6  49

 3 11 A  B   7 7  1 1  19  15 , 35 18 AB   0   49 9 18   

 0 2 17  2A  B   1 7 1    14 20 12    35 8   13 13 18 , 22 2  BA   6 6 51     8 12 26  125 26    

7 4  ,  6 

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5.1 3  3 0 1 2 3 T Sean las matrices A   4 0  , B    , C  3 1 5 . Calcule (si es posible): A+B, A+C ,    1 4    0 1   TB. BC, CB, AC, CA, C

SOLUCIÓN:

A B  

2 0 A  C  6 1  ,   3 4  
T

3 6 9  BC   , 11 2 17 

CB  

 8 1 12  AC   4 8 12     3 1 5   

9 6  CA    7 14 
6.

 0 12  C A  5 4     4 20  
T

Determine u, x, y e z a partir de las ecuaciones matriciales: 2  3 u 2 2 x  2 3  2 a) 4 y  2   2 4 5       2z 3 2   4 3 2      b)
2 2  1 y 1  4  u  3 4   3  1   2  0  1 2       x  1   4 2 z  1  4 4      

SOLUCIÓN:

2x  2  3
a)

   

x

5 2

y2 5 2z  4 3u

y7 z2 u3

1  3  y  1  8
b) x  20  

1  3 y  3  8  1  6 z  3  8  2  6  2u 

y4 z  2 u2

x  12  8 2  3  2   2u



1  3  2 z  1  8

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7.

Halle el valor del polinomio f ( A, B) de las matrices A y B . a) b)
 3 5 f ( x, y)  x2  xy  2 y, además: A   , B  1 4   1 1 3 f ( x, y)  x2  y 2 , además: A    , B  0  2 3 
3 2 2 3

 20   7 8  1 1 

c)

1 0 3 2 8 1  2 5 0 , B   5 7 3 f ( x, y)  x  x y  xy  y , además: A      0 4 6 4 6 0    

SOLUCIÓN: a) b)

 47 5 f  A, B   AA  AB  2 B     19 5  6 2 f  A, B   AA  BB     4 10 
 549 860 98  f  A, B   AAA  AAB  ABB  BBB   483 828 211    362 306 76   
4 2  AB   , 0 3  2...