Geometria Analitica

La Recta

Circunferencia

Definición.
Sea O un punto del plano y sea “ r ” un número real positivo. Se define la circunferencia como el conjunto de puntos P(x, y) tal que la distancia de P a Oes igual a “ r ”. Es decir:
Circunferencia = {P(x,y)/ d(P,O) = r}

Al punto “O ” se le denomina centro de la circunferencia y a “ r ” se le denomina radio de la circunferencia.

Ecuación canónicade la circunferencia
Supongamos que O tiene coordenadas (h,k)

La distancia entre los puntos P(x, y) de la circunferencia y el punto
C(h,k) , la cual denotamos como “ r ”, está dada por r = (x −h)2 + ( y − k)2 entonces, tenemos:
(x − h)2 + ( y − k)2 = r 2 Ecuación canónica de unacircunferencia.
Para r 2 > 0 .
Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene porecuación:
x2 +y2 = r 2
Es decir, una circunferencia con centro O (0,0) , el origen

Despejando y, obtenemos las ecuaciones de las semicircunferencias superior e inferior.

Ejemplo

* Hallar la ecuacióncanónica de la circunferencia que tiene centro el punto O (4,2) y radio 3

Solución

* Reemplazando en (x −h)2+(y−k)2=r2 tenemos:
x -42+y -22= 32
(x2-8x+16) + (y2-4y+4) = 9x2-8x+16+y2-4y+4=9
x2+y2-8x-4y+11=0
x2+ y2-Cx-Cy+F=0

O de la forma
Ax2+Ay2+Cx+Dy+F =0

Esta última ecuación es llamada ECUACIÓN GENERAL DE UNA
CIRCUNFERENCIA.
Por tanto si nuestra intensión fuese dibujar lacircunferencia o
descubrirle sus elementos (centro y radio) a partir de la ecuación general,
deberíamos llevar la ecuación a su forma canónica completando trinomios
cuadrados perfectos.

Graficarla circunferencia que tiene por ecuación x 2 + y 2 − 4x + 6y −12 = 0
Solución
La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando
cuadrados

(x2-4x+4) + (y2+6y+9) =12+4+9
(x-2)2+(y+3)2=25
Tenemos una circunferencia de radio r = 5 y centro C(2,−3)

No toda ecuación de la forma Ax2+ Ay2+Cx+Dy+F =0
representará una circunferencia.
Si en el proceso de llevarla...