Geometria Analitica

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
´
( Universidad del Per´
u, DECANA DE AMERICA)
´
´
FACULTAD DE QUIMICA E INGENIERIA QU´IMICA
Curso : Geometr´ıa Anal´ıtica y C´
alculo 1
Pr´
actica Dirigida # 4
1. Hallar la ecuaci´
on de la par´
abola que satisface las siguientes condiciones y dibujela:
a) V´ertice V (0, 0), foco F (3, 0)
b) V´ertice V (0, 0) , foco F (0, −3)
c) Foco F (0, 6) , directrizy = 2

d) V´ertice V (−2, 1) , directriz x = 1
e) Foco F 0, 32 y directriz 3y + 2 = 0.
2. Hallar la ecuaci´
on de la par´
abola de eje paralelo al eje Y y que pasa por los puntos
P (0, 3), Q(3, 4) y R(4, 11).
3. Una par´
abola pasa por los puntos P (5, −3) y Q(−1, 3), y su tangente en el v”ertice
es la recta y + 5 = 0. Hallar su ecuaci´
on.
4. Demostrar que las tangentes a una par´
abola trazadasdesde un punto de su directriz
son perpendiculares entre si.
5. Hallar el valor de k para que la recta 2x − y + k = 0 sea tangente a la par´
abola
x2 − 4x − 8y − 4 = 0.
6. Hallar la ecuaci´
on de la tangente a una par´
abola y 2 − 12x− 2y + 1 = 0 que sea paralela
a la recta 3x − 2y + 32 = 0
7. Desde el foco de la par´
abola y 2 = 4x se ha dirigido un rayo hacia el arco superior,
abola el rayoformando con el eje OX un a´ngulo α tal que tan α = 34 . Al llegara par´
se ha reflejado . Hallar la ecuaci´
on de la recta que contiene el rayo reflejado.
8. Una circunferencia es tangente a la directriz y al lado recto de la par´
abola y 2 + 8x −
4y + 28 = 0. Hallar la ecuaci´
on de tal circunferencia si su centro es el v´ertice de la
par´
abola.
9. Considere el tri´
angulo ABC donde A(1, 1), B(5,1) y C(7, 5). Determine la ecuaci´
on
de una par´
abola cuyo v´ertice coincide con el punto C y su directriz contiene al lado
AB del tri´
angulo.
10. Un telescopio reflectante tiene un espejo parab´olico en el cual la distancia del v´ertice
al foco es 30 cm. Si el ancho del espejo es 64 cm en la parte superior, qu´e tan profundo
es el espejo en el centro?
11. Demostrar que la circunferencia quetiene como di´
ametro el lado recto de una par´
abola
es tangente a la directriz de la par´
abola.
12. Sean A y B son los extremos de una cuerda focal de una par´
abola. Si C es el punto
de intersecci´
on de la directriz con una recta que pasa por A y el v´ertice, demostrar
que que la recta que pasa por C y B es paralela al eje de la par´
abola.
13. Demostrar que la distancia del punto medio de unacuerda focal de una par´
abola a la
directriz es la mitad de la longitud de la cuerda focal.

14. Hallar la ecuaci´
on de la elipse que satisface las siguientes condiciones:
√
a) Centro C(0, 0), un foco F (0, − 5) y longitud de eje menor 5.
b) Centro C(0, 0) , focos en el eje X , e =
c) V´ertices V (0, ±6) y pasa por P (3, 2).

2
3

y pasa por el punto P (2, − 53 ).

d) Centro C(2, −1) , tangentea los ejes coordenados y los ejes mayor y menor
paralelos a los ejes coordenados.
15. Hallar la ecuaci´
on de la elipse que pasa por el punto (1, 5) y tiene focos en F1 (4, 5) ,
F2 (4, 1).
16. Los v´ertices de una elipse son V1 (−1, 5), V2 (−1, −5) y uno de los focos divide al
on 41 . Hallar la ecuaci´
on de la elipse.
segmento V1 V2 en la raz´
17. La excentricidad de una elipse es e = 31 , sucentro coincide con el origen y uno de los
focos es F (−2, 0). calcular la distancia sel punto M de la elipse, cuya abscisa es 2 , a
la directriz correspondiente al foco dado.
18. Hallar la distancia de la recta 4x + 3y − 13 = 0 al foco m´
as cercano de la elipse
2
2
13x + 9y + 52x − 54y + 120 = 0.
19. La recta x + y − 5 = 0 intersecta a la elipse 3x2 + 7y 2 − 115 = 0 generando una cuerda.
Halle lalongitud de la cuerda generada.
2

2

20. Desde el foco izquierdo de la elipse x45 + y20 = 1 se ha dirigido un rayo de luz con un
´angulo de inclinaci´
on α obtuso respecto del eje X, tal que tan α = −2 y tal rayo se
ha reflejado en la elipse. Hallar la ecuaci´
on del rayo reflejado.
21. Hallar la ecuaci´
on de las rectas tangentes a la elipse
punto P (5, 0).

x2
9

+

y2
4

= 1, trazadas desde...