Geometria analitica

4.4 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA |

4.4.1.Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen
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Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x (fig. 4.6.) |

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Fig. 4.6Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1,P’2, P’3. Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:  Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)
  La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.  |

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4.4.2. Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y |
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Considere una recta l de la que se conocen m (m= tan ) y b (ver fig. 4.7.)  |

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fig. 4.7.Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas 
P’’(x, Y), Y  y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo. Luego, P’’P = OB = b. Y setiene que: Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b. Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y. |
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4.4.3. Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida |
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Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también esconocida.  |
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| Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:                 y = mx + b             (1) Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:                  y1 = mx1 + b          (2) |
fig. 4.8Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene: y– y1 = m(x – x1) (3) La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta. Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:  y = mx + (y1 – mx1). Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por: b = y1 – mx1 |
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4.4.4. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2) |
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Sea l la recta que pasa porlos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente.  |
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| Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que                             y – y1 = m1 (x – x1)    (1) representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación. |
    fig. 4.9.Esto es y2 – y1 =; de donde  (2)Sustituyendo (2) en (1) se obtiene (3)  La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta. Observaciones
       i.    Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación 
          (3) también puede escribirse en la forma:              Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:    ii.   Si (x, y) es un puntocualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la 
      ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así: = 0 |
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4.4.5. Ecuación segmentaria de la linea recta |
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Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 4.10)  |

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| Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b),entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por:  Es decir,  de donde,  |
                       fig. 4.10 Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene: (1)La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo...