Geometria De Arquimides

Arquímedes y la geometría dinámica
Carlos Mederos Martín

Introducción
Podemos afirmar que a la hora de enseñar matemáticas no basta con “explicar” los conceptos propios de esta disciplina. Por el contrario, si queremos que sean asimilados de una forma significativa por los estudiantes es fundamental estudiar sus orígenes y su evolución a lo largo de la historia; es decir, hay que estudiarcómo ha evolucionado la construcción del conocimiento matemático, así como los recursos intelectuales implicados en dicha construcción. Pero acudir a la Historia como recurso didáctico presenta ciertas dificultades, entre las que podemos destacar, en primer lugar, la necesidad de disponer de suficientes fondos documentales (textos) sobre la actividad científica a lo largo de los siglos, necesidadesta no siempre bien cubierta, sobre todo en los lugares alejados de los tradicionales centros de producción cultural; y, en segundo lugar, si suponemos resuelta la dificultad anterior, nos encontramos con que los textos antiguos son difíciles de leer, dado que están escritos en lenguas que, generalmente, no son de dominio común, las figuras no son muy claras y, a menudo, se usan notacionesdesacostumbradas para la mayoría de los estudiantes, lo que produce cierto rechazo entre los posibles lectores. Estas dificultades pueden ser paliadas en parte usando, bajo determinadas condiciones, diferentes tipos de software. La primera, por medio de la digitalización de los documentos y su almacenamiento en bibliotecas virtuales, accesibles desde cualquier lugar. La segunda, por medio del uso deprogramas relacionados con la didáctica, como, por ejemplo, el software orientado a la “geometría dinámica”, cuyo uso nos permite prescindir del estudio de ciertos detalles “técnicos”, para, al mismo tiempo, ayudarnos a percibir la belleza y el ingenio de las ideas simplificadas al máximo (“desnudas”): Esto es lo que podemos llamar la digitalización de las ideas. Este trabajo es un intento de poner enpráctica esto último, usando el software de geometría dinámica Geometer’s Sketchpad1 y uno de los tópicos más conocidos de los trabajos de Arquímedes: la cuadratura de la parábola.

Importancia “didáctica” de los trabajos de Arquímedes
Si queremos introducirnos en el estudio de la evolución del conocimiento matemático a lo largo de la historia, debemos considerar la obra de Arquímedes comoprototípica, dadas las especiales características de la misma, entre las que podemos destacar: – Arquímedes desarrolla técnicas de demostración orientadas a la consecución del “rigor”, concepto éste de vital importancia en el desarrollo histórico de la Matemática. En este sentido podemos destacar la maestría de Arquímedes en la aplicación del Método de Exhausción, cuyo
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Geometer’s Sketchpad. © byKey Currículum Press. Berkeley. CA.

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objetivo es evitar el uso del “infinito” en las demostraciones, siguiendo la tradición filosófica griega que excluía el uso de este concepto para la adquisición del conocimiento racional, es decir, del conocimiento “verdadero”, debido a la multitud de contradicciones en las que nos hace caer. – Pero la aplicación del Método deExhausción presenta un problema: se debe conocer a priori el resultado que se quiere demostrar. En consecuencia es necesario disponer de otros métodos para obtener estos resultados que luego serán demostrados “rigurosamente”, es decir, “sin hacer intervenir el infinito”. Estos métodos suelen ser bastante intuitivos y basados en el conocimiento empírico. Arquímedes descompone áreas en infinitossegmentos que luego “pesa” con su balanza; halla centros de gravedad, donde supone concentrado todo el “peso” de una figura, llegando así a resultados que luego demuestra por el Método de Exhausción. En resumen, la obra de Arquímedes es un conjunto “cerrado” respecto a la construcción del conocimiento matemático: dispone de métodos exploratorios para obtener nuevos resultados y de métodos...