Geometria Del Espacio

1º-Hallar a y b para que las rectas siguientes sean paralelas:
r

2x + ay - z = 1
2x + 3y + bz = 3

s

2º-Dadas las rectas de ecuaciones

4x = 2y + 6 = z

x
z-2
= y - 1=
2
2

Sol: a=1 ; b=-2

(x, y, z) = (2,0,1)+ (1,1,-2)

a) Estudiar su posición relativa en el espacio.
b) Calcular las distancias entre ellas.
c) Trazar una recta que corte perpendicularmente a ambas.
18+4
53
62
y=
-6
53
124
z=
53

x=

Sol: a) Cruzan

b) d(r,s)=2,06

c) t

3º-Dados los planos de ecuaciones: ax-2z=15 2x+y+z=-7 x+y+az=-8a
a) Determinar los valores de a para que los tres planos pasen por una recta.
b) En este caso, determinar dos puntos de esta recta.
Sol: a) a=-1 b) A(-15,23,0) B(1,-1,-8).
4º-Encontrar las ecuaciones de todos los planos paralelos al plano
quedisten de éste 1 unidad de longitud.
Sol:
4x - 4y + 2z = 5
5º-Averiguar

la

posición

relativa

de

las

rectas:

r

4x - 4y + 2z = 1 y
4x - 4y + 2z = 7

x -1 y+2 z -3
=
=
3
2
4

x+2 y+3 z
=
=
-1
2
4
Sol: Se cruzan.
x+2 y -1 z
=
= hallar:
6º-Dada la recta r de ecuación
3
2
4
a) Las ecuaciones implícitas de otra recta cualquiera r' que sea ortogonal a r,pase por el punto A(0,-3,2) y no corte a r.
b) Un punto B en r y otro B' en r' de modo que el módulo del segmento BB'
sea la distancia entre r y r'.
z=2
Sol: a) r
b) B(-40/29, 41/29, 24/29) B'(-32/13, 9/13, 2)
3x + 2y + 6 = 0
s

1

7º-Determinar condiciones en el parámetro a para que la recta definida por las
ecuaciones:
3x + ay + z - 1 = 0
r
esté situada en el plano x+y+z+1=0
2x+ 6y - 2z - 6 = 0
3x + 5y + z - 1 = 0
2x + 6y - 2z - 6 = 0
8º-Determinar, en función de x, la distancia de un punto de coordenadas (x,0,0) a la
recta de ecuaciones:
x+ y = 0
r
¿Para qué punto (x,0,0) la distancia a dicha recta es igual a la distancia
y+ z = 0
al plano x=0 ?
2
| x|
Sol: a) d(p, r) =
b) x=0
3
9º-Determinar t para que los puntos A(1,1,1) B(3,0,2) C(5,-2,2) D(2,1,t)sean
coplanarios. Para el valor t calculado anteriormente, obtener el área del polígono
5
Area =
2
ABCD.
Sol: t=2
2
10º-Dados los puntos A(3,-2,0) y B(1,-2,-2) y la recta de ecuación r x = y = z calcular
la distancia desde el punto B al plano que contiene a r y al punto A.. Sol:
6
d=
= 0 ,973
38

Sol: r

11º-Hallar la ecuación del plano que pasa por P(0,0,1) y contiene a la recta5x - 3y + 2z - 5 = 0
r
2x - y - z - 1 = 0
Sol: =4x-3y+7z-7=0
12º-Hallar

la
distancia
del
punto
(x, y, z) = (0,0,4)+ (2,2,-1)+ (-3,2,0)
45
Sol: a) d=
113
x+

13º-Dado el sistema de ecuaciones lineales:

Q(5,5,-3)

al

plano

y + (1 - )z =
x+ y+ z = 2

x + y + (1 - )z =

a) Demostrar que si =0, dicho sistema representa una recta y hallar sus
ecuaciones paramétricas.
1=1
b) Para que valores de y ß representa un plano.
Sol: b) =
2

2

14º-Calcular el ángulo que forma la recta r y el plano

:r

x -1 y+2 z
=
=
2
-1
3

x- y-z=0
Sol: Recta paralela al plano
2x + 2y + z - 3 = 0 y el punto A(1,0,2); sea B el pie de
15º-Dado el plano de ecuación
la
perpendicular de A a y C(2,1,-2) un punto Se pide el área del triángulo
2
ABC.
Sol: A =
216º-Dadas las rectas de ecuaciones:
3x - 2z = 3
3y - 2z = 2
r
s
3x - kz = 3 - 4k
kx - 2y = k - 4

determinar los valores de k para los cuales las rectas están en un mismo plano y
buscar una ecuación de este plano.
Sol: K=-2 3x+2z-11=0

17º-Determinar el plano que pasa por la recta de ecuación:

y es paralelo a la recta de ecuación:
Sol:

r

r

x+ y+ z = 5
x - 2y - z = 3

2x -1 y + 1 - z + 174
=
=
2
3
2

13x-8y-z+9=0

18º-Hallar la distancia del punto A(1,2,3) a la recta
que pasa por A y es perpendicular a la recta.

x=0
y la ecuación del plano
y=0

Sol: d= 5

z=3

19º-Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,0,1) y contiene a la recta de
ecuación
r

x -1 y+3 z
=
=
2
1
-1

Sol:

4x - 3y + 5z - 13 = 0

x = 3 - 5t...