Geometria Del Espacio

C u r s o : Matemática
Material N° 35
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 29

UNIDAD: GEOMETRÍA
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
Determinación del plano:
Un plano queda determinado por:
Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 1).

L1

P

fig. 1
L2

Tres puntos no colineales (fig. 2).

P

A

B

Por una recta y un punto no perteneciente a ella
(fig. 3).

P

L1A

Por dos rectas paralelas (fig. 4).

P

fig. 2

C

fig. 3

L1
L2

fig. 4

EJEMPLO
1.

De las siguientes alternativas es (son) verdadera(s):
I)
II)
III)

A)
B)
C)
D)
E)

Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo

Un plano se puede generar por dos rectas paralelas.
Un plano está determinado por los dos lados paralelos de un romboide.
Un plano se puede determinar por la recta de ecuación y = 2x y
(-1, -2).

I
IIIII
I y II
I y III

el punto

DEFINICIONES
POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara,

sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.
Arista
Cara
Vértice
PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos
congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).
ÁNGULO DIEDRO: Es elángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su
medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo
punto.
Ángulo
P2
Semiplano
Arista
diedro

P1

EJEMPLOS

1.

El ángulo diedro formado por las dos caras laterales de un paralelepípedo rectangular es

A) 180
B) 190
C) 80
D) 100
E)
90

2.

El ángulo diedro formado por las caras laterales deun prisma, donde sus bases corresponden
a un pentágono regular es

A) 58º
B) 28º
C) 118º
D) 108º
E) 208º

2

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS
CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje:
ESFERA

eje de giro

CILINDRO

CONO

TRONCO DE
CONO

CILINDRO CON
DOS CONOS

TRASLACIÓN: Se generan portraslación de una superficie plana:

Prisma triangular

Prisma trapezoidal

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

Cilindro circular recto

EJEMPLOS

1.

Dado un rectángulo ABCD, el cuerpo generado por la rotación del rectángulo en torno a su
lado mayor es un
A)
B)
C)
D)
E)

2.

prisma rectangular.
una pirámide de base rectangular.
un cubo.
un paralelepípedo rectangular.
un cilindro recto de basecircular.

Para formar el cuerpo de revolución de la figura 1, la superficie que lo puede generar es

fig. 1

I)

A)
B)
C)
D)
E)

Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo

II)

III)

I
II
III
I y II
II y III
3

CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

NOMBRE

PARALELEPÍPEDO
RECTANGULAR

FORMA

h

ÁREA

VOLUMEN

2(ab +bh + ah)

a⋅b⋅h

6a2

a3

a
b

a
CUBO

a

PRISMA RECTO
RECTANGULAR

a

Volumen

BÁrea de la base por
la altura

h(a + b + c)+ 2B
B = área basal

Bh

h

2πrh + 2πr2

πr2 ⋅ h

a

2ag + a2
g = apotema
lateral

1 2
a ⋅h
3

h

a
b

c

CILINDRO RECTO
BASE CIRCULAR

• r

PIRÁMIDE RECTA
BASE CUADRADA

g

h

Volumen

a

CONO RECTO BASE
CIRCULAR

h g

πrg + πr2
g= generatriz

1 2
πr ⋅ h
3

4πr2

4 3
πr
3

•r

ESFERA

•

r

4

Área de la base por
la altura dividido
por tres

EJEMPLOS

1.Si un rectángulo de lados 4 y 2 cm gira sobre su lado mayor y después sobre su lado menor.
Entonces, la razón entre los volúmenes de los cuerpos generados es

A)
B)
C)
D)
E)

2.

1
1
2
3
5

:
:
:
:
:

2
3
1
1
4

La semicircunferencia de la figura 1 gira en torno al diámetro AB = 12. Calcular el área y
volumen del cuerpo generado.
A
A)
B)
C)
D)
E)

140π
142π
144π
145π
148π

cm2
cm2
cm2
cm2
cm2284π
286π
288π
287π
289π

cm2
cm2
cm2
cm2
cm2

fig. 1
O

B

3.

El área y el volumen de un prisma recto cuya base es un triángulo rectángulo de catetos
3 y 4, y altura 10 cm son

Área

A)
B)
C)
D)
E)

130
140
150
132
132

cm2
cm2
cm2
cm2
cm2

Volumen

100
130
110
160
60

cm3
cm3
cm3
cm3
cm3

fig. 2

5

PUNTOS EN EL ESPACIO

En la figura 1 observamos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares...