Geometria Del Plano
Páginas: 13 (3141 palabras)
Publicado: 23 de octubre de 2012
Introducción.
La matemática es una ciencia que encontramos en todas partes. Sin darnos cuenta, aplicamos matemáticas día tras día, en distintas situaciones y circunstancias. Por ello, es importante que los seres humanos tengamos un conocimiento amplio y general de matemáticas.
En el presente trabajo, se explicará el tema de Aplicación de geometría en el plano, mediante breves conceptosbásicos, ejemplos y gráficas.
Se espera, que el trabajo cumpla con las expectativas del lector, y permita que éste último comprenda mejor el tema.
Geometría del plano.
1._ Aplicaciones del Teorema de Pitágoras:
El teorema de Pitágoras indica que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos, estoquiere decir que, si C es la longitud de la hipotenusa y A y B son las longitudes de los catetos del triángulo ABC rectángulo en C, entonces: c² = a² + b².
A continuación, tenemos 2 ejemplos:
* ¿Cuál es el área del triángulo JKL rectángulo en K?
En un triángulo rectángulo el área es igual al semiproducto de los catetos, pero ¿cuánto miden los catetos?
Aplicando el teorema de Pitágoras,se tiene que:
(x+2)2 = x2+(x+1)2 x2+4x+4 = x2+x2+2x+1
0 = x2+x2+2x+1-x2-4x-4
x2-2x-3 = 0 x1 = 3; x2 = -1
Ya que la longitud de un segmento no puede ser negativa, la medida del cateto KL, la cual es el valor de x, es 3 m; y la medida del cateto JL, la cual es el valor de x+1m, es 4 m.
Por lo tanto, el área del triángulo es 3 m .4m2 = 12 m 22 = 6 m2.
* ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de lados 16 cm y 30 cm?
En la figura dada se ha dibujado un rectángulo ABCD con la diagonal AC. En el rectángulo se forma el triángulo rectángulo ABC, y se conocen sus catetos AB = 16 cm y BC = 30 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que:AC2 = 162+302 = 256+900 = 1156 AC = 1156 = 34
Entonces, la diagonal del rectángulo mide 34 cm.
D
30 cm
16 cm
A
B
C2._Teorema de Euclides y aplicaciones:
Media geométrica o media proporcional: Se dice que el segmento x es media geométrica de los segmentos a y b si x2 = a . b. Ejemplos:
* La media geométrica de 7 y 8 es x = 7 .8 = 56 = 214. Aesa cantidad también se llama media proporcional. Nótese que si x es la media geométrica de a y b, entonces x = a. b
* La media geomètrica de 2 y 18 es:
22 .18 = 236 = 6.
Teorema de Euclides: El teorema de Euclides indica que la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la media geométrica de los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa. Este teorema esconocido como el teorema de la altura. Ejemplos:
* En un triángulo rectángulo, las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 cm y 9 cm. ¿Cuánto mide la altura del triángulo con base en la hipotenusa?
Sea h la altura buscada. Al aplicar el teorema de Euclides se tiene que:
h2 = 4 . 9 = 36 h = 36 = 6
Es decir, la altura mide 6 cm.
* La hipotenusa de untriángulo rectángulo mide 25 cm. Si la altura de esa hipotenusa es 12 cm, ¿cuánto miden los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa?
Sean m y n los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa.
Por una parte, se tiene que 25 = m + n; y, por la otra, el teorema de Euclides dice que:
122 = m . n 144 = m . n
Se conocen, entonces, la suma y el producto de m y n, por...
La matemática es una ciencia que encontramos en todas partes. Sin darnos cuenta, aplicamos matemáticas día tras día, en distintas situaciones y circunstancias. Por ello, es importante que los seres humanos tengamos un conocimiento amplio y general de matemáticas.
En el presente trabajo, se explicará el tema de Aplicación de geometría en el plano, mediante breves conceptosbásicos, ejemplos y gráficas.
Se espera, que el trabajo cumpla con las expectativas del lector, y permita que éste último comprenda mejor el tema.
Geometría del plano.
1._ Aplicaciones del Teorema de Pitágoras:
El teorema de Pitágoras indica que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos, estoquiere decir que, si C es la longitud de la hipotenusa y A y B son las longitudes de los catetos del triángulo ABC rectángulo en C, entonces: c² = a² + b².
A continuación, tenemos 2 ejemplos:
* ¿Cuál es el área del triángulo JKL rectángulo en K?
En un triángulo rectángulo el área es igual al semiproducto de los catetos, pero ¿cuánto miden los catetos?
Aplicando el teorema de Pitágoras,se tiene que:
(x+2)2 = x2+(x+1)2 x2+4x+4 = x2+x2+2x+1
0 = x2+x2+2x+1-x2-4x-4
x2-2x-3 = 0 x1 = 3; x2 = -1
Ya que la longitud de un segmento no puede ser negativa, la medida del cateto KL, la cual es el valor de x, es 3 m; y la medida del cateto JL, la cual es el valor de x+1m, es 4 m.
Por lo tanto, el área del triángulo es 3 m .4m2 = 12 m 22 = 6 m2.
* ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de lados 16 cm y 30 cm?
En la figura dada se ha dibujado un rectángulo ABCD con la diagonal AC. En el rectángulo se forma el triángulo rectángulo ABC, y se conocen sus catetos AB = 16 cm y BC = 30 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que:AC2 = 162+302 = 256+900 = 1156 AC = 1156 = 34
Entonces, la diagonal del rectángulo mide 34 cm.
D
30 cm
16 cm
A
B
C2._Teorema de Euclides y aplicaciones:
Media geométrica o media proporcional: Se dice que el segmento x es media geométrica de los segmentos a y b si x2 = a . b. Ejemplos:
* La media geométrica de 7 y 8 es x = 7 .8 = 56 = 214. Aesa cantidad también se llama media proporcional. Nótese que si x es la media geométrica de a y b, entonces x = a. b
* La media geomètrica de 2 y 18 es:
22 .18 = 236 = 6.
Teorema de Euclides: El teorema de Euclides indica que la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la media geométrica de los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa. Este teorema esconocido como el teorema de la altura. Ejemplos:
* En un triángulo rectángulo, las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 cm y 9 cm. ¿Cuánto mide la altura del triángulo con base en la hipotenusa?
Sea h la altura buscada. Al aplicar el teorema de Euclides se tiene que:
h2 = 4 . 9 = 36 h = 36 = 6
Es decir, la altura mide 6 cm.
* La hipotenusa de untriángulo rectángulo mide 25 cm. Si la altura de esa hipotenusa es 12 cm, ¿cuánto miden los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa?
Sean m y n los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa.
Por una parte, se tiene que 25 = m + n; y, por la otra, el teorema de Euclides dice que:
122 = m . n 144 = m . n
Se conocen, entonces, la suma y el producto de m y n, por...
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