geometria diferencial

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

GEOMETR´ DIFERENCIAL
IA
P R O B L E M A S

R E S U E L T O S

Rodrigo Vargas

Santiago de Chile
2010

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Prefacio
Este libro pretende sirvir de texto para un primer curso de Geometr´ Diıa
ferencial. Los temas tratados se exponen de manera simple y directa, evitando
digresiones y sin dar demostraciones de los resultados expuestos. As´espeı
ro facilitar la comprensi´n de los estudiantes que, al adoptarlo, no necesio
tar´ perder mucho tiempo en la teor´ para evocarse a atacar problemas
a
ıa
de los textos gu´ Grupos especiales, estudiantes avanzados, lectores que
ıas.
deseen una presentaci´n m´s completa y los alumnos, por as´ decirlo, noro
a
ı
males que busquen lecturas complementarias pueden consultar “Geometr´
ıadiferencial de curvas y superficies” de Manfredo do Carmo que trata de la
misma materia con un enfoque m´s amplio.
a
La parte mas importante de este libro son sus problemas resueltos, que
sirven para fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en muchos textos
de geometr´ diferencial y como oportunidad para que el lector compruebe
ıa
lo sencillo de algunas soluciones. Naturalmente, megustar´ que el lector
ıa
s´lo consultase las soluciones despu´s de haber hecho un serio esfuerzo para
o
e
resolver cada problema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin ´xito, el que
e
nos conduce a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.
Los problemas que el lector encontrar´ se basan en las ayudantias del
a
curso de geometr´ diferencial impartido en la Universidad de Chile y laıa
Pontificia Universidad Cat´lica de Chile, el cual est´ dirigido a estudiantes
o
a
de Licenciatura en Matem´tica. Muchos de los problemas han sido tomados
a
de los problemas propuestos en el libro de Manfredo do Carmo.

iii

iv

´
Indice general
1. Curvas
1.1. Teor´ Local de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
1.2. Propiedades Globales de las curvas planas .. . . . . . . . . .
1.3. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
3
3

2. Superficies
53
2.1. La Primera Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2. La Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3. Curvatura de Superficies
3.1. La Curvatura deCurvas sobre una Superficie
3.2. Las Curvaturas Media y Gaussiana . . . . .
3.3. Geod´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
3.4. El Teorema Egregio de Gauss . . . . . . . .
3.5. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . .

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..

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75
78
78
79
80

4. El Teorema de Gauss-Bonnet
115
4.1. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5. Superficies Completas. Teorema de Hopf-Rinow
131
5.1. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

v

vi

Cap´
ıtulo 1
Curvas
1.1.

Teor´ Local de Curvas
ıa

Definici´n 1.1.
o
Una curva parametrizadadiferenciable es una aplicaci´n diferenciable α :
o
3
(a, b) → R .
Definici´n 1.2.
o
Una curva parametrizada diferenciable α : (a, b) → R3 se denomina regular
si α (t) = 0 para todo t ∈ I.
Definici´n 1.3.
o
Dado t ∈ (a, b), la longitud de arco de una curva parametrizada regular
α : (a, b) → R3 , desde el punto t0 , es por definici´n:
o
t

s(t) =

α (t) dt .
t0

Definici´n 1.4.
o
Una curvaparametrizada α : (a, b) → R3 es llamada arco-parametrizada o
de r´pidez uno si α (t) es un vector unitario para todo t ∈ (a, b), esto es,
a
α (t) = 1.
Definici´n 1.5.
o
Sea α : (a, b) → R3 una curva parametrizada por longitud de arco s ∈ I. El
n´ mero α (s) = κ(s) se denomina la curvatura de α en s.
u
1

2

Cap´
ıtulo 1. Curvas

En puntos donde κ(s) = 0, est´ bien definido un...