Geometria Diferencial

Geometría Diferencial

Dada la curva y encontrar (a) el vector tangente unitario T, (b) la normal principal N, la curvatura  y el radio de curvatura , (c) la binormal B, la torsión  y elradio de torsión .

Solución. Se comienza representando la curva, en este caso el dominio de t corresponde a todo el conjunto de los números reales. Sin embargo, solamente se realizará la gráficapara el dominio [0, 4*]. El código en MATLAB es el indicado:

t=0:0.1:4*pi;
x=3*cos(t); y=3*sin(t); z=4*t;
plot3(x,y,z)

La curva generada se denomina hélice circular. Como las ecuaciones de lacurva en función de este último parámetro son perteneciendo a la superficie lateral del cilindro

Inciso (a). El vector de posición de un punto genérico de la curva es:

Calculando losvectores v y a, velocidad y aceleración, respectivamente se tiene:

El vector tangente unitario, T, está dado como:

Como se puede apreciar se necesita calcular la magnitud del vector velocidad, v(t),esto es:

Consecuentemente, el vector tangente unitario, T, se expresa:

El código en MATLAB para calcular T es el indicado:

clear all, clc
syms t positive
r=[3*cos(t),3*sin(t),4*t]
v=diff(r)a=diff(r, 2)
nor_v=simple(sqrt(v(1)^2+v(2)^2+v(3)^2));
T=v/nor_v

Inciso (b). Para obtener la normal principal, necesitamos calcular la derivada respecto a t del vector tangente unitario T y,además, normalizar dicha derivada esto es:

Consecuentemente, la normal principal N está dada como:

El código en MATLAB para calcular T' es el indicado, esto es considerando que ya se tienedefinido T:

dT=diff(T)
nor_dT=simple(sqrt(dT(1)^2+dT(2)^2+dT(3)^2))
N=dT/nor_dT

En el ejemplo que se está analizando el denominador de N es una constante, sin embargo, podemos tener casos en loscuales no sea de esa manera. En dichos casos conviene realizar el cálculo de la derivada de T tal como se indica:

Quedando de igual manera la definición de la normal N. El código para el mismo...