geometria diferencial

´ A LA
INTRODUCCION
GEOMETR´IA DIFERENCIAL
Dispone de un paquete de Mathematica para calcular m´etricas,
s´ımbolos de Christoffel, geod´esicas y curvatura seccional

´
Luis Javier HERNANDEZ
PARICIO

ii

Apuntes de Geometr´ıa Diferencial

´Indice general
´
INTRODUCCION
1. Breves comentarios hist´oricos
2. Objetivos
3. Requisitos

1
1
5
6

Cap´ıtulo 1. PRELIMINARES
1. Nociones y notacionesasociadas a funciones
2. Topolog´ıa
2.1. Espacios topol´ogicos y funciones continuas
2.2. Base de una topolog´ıa
2.3. Propiedades topol´ogicas
2.4. Construcciones
2.5. Algunos espacios
´
3. Algebra
lineal
4. An´alisis matem´atico
Problemas

9
9
10
10
11
12
12
13
14
17
20

Cap´ıtulo 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
1. La noci´on de variedad diferenciable
Problemas
2. La topolog´ıa de una variedaddiferenciable
2.1. Introducci´on de la topolog´ıa mediante la relaci´on de
compatibilidad
2.2. Introducci´on de la topolog´ıa mediante atlas maximales
3. Propiedades b´asicas de la topolog´ıa de una variedad
Problemas
4. Algunas propiedades de funciones diferenciables
Problemas

23
23
27
29

Cap´ıtulo 3. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
1. Ejemplos b´asicos de variedades diferenciables
Problemas
2. Elconjunto de ceros de una funci´on con valores reales
Problemas
3. Miscel´anea

39
39
42
43
45
49

Cap´ıtulo 4. ESPACIO TANGENTE
1. Notaciones previas

53
53

iii

29
30
31
34
35
36

iv

´Indice general

Problemas
2. Derivadas parciales. Propiedades
Problemas
3. Vectores tangentes
Problemas
4. Aplicaci´on tangente
Problemas

54
55
55
56
58
59
62

Cap´ıtulo 5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
1.Inmersiones
Problemas
2. Submersiones
Problemas
3. Las fibras de una submersi´on
Problemas

65
65
67
72
74
75
76

Cap´ıtulo 6. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES
1. Grupos discontinuos y variedades recubridoras
Problemas
2. Sistemas din´amicos
Problemas
3. Grupos de Lie
Problemas
4. Encajes de la botella de Klein y del plano proyectivo real

87
87
90
93
96
97
101
101

Cap´ıtulo 7. CAMPOS Y FORMAS
1.Fibrado tangente y cotangente
Problemas
2. Definici´on y propiedades de campos y formas
Problemas
3. Variedades paralelizables
Problemas
4. Variedades orientables
Problemas
5. Curvas integrales
Problemas

103
103
104
105
111
113
113
114
118
118
120

Cap´ıtulo 8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS127
1. Conexiones y derivada covariante
127
Problemas
132
2. Variedades riemannianas
133
Problemas
135
3.Longitudes de curvas y vol´
umenes
139
Problemas
140
4. Conexiones riemannianas
140
Problemas
144
5. Curvatura
148

´Indice general

Problemas
6. Miscel´anea

v

153
155

Cap´ıtulo 9. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY
1. El paquete RiemannianGeometry
1.1. Introducci´on
1.2. Algunas pseudom´etricas m´as frecuentes
1.3. Pseudo-m´etrica inducida por una inmersi´on
1.4. S´ımbolos de Christoffel yecuaciones de las geod´esicas
1.5. Tensor de curvatura y Curvatura Seccional
1.6. Coeficientes geom´etricos inducidos por una inmersi´on
1.7. Ejemplos
2. Integraci´on num´erica de las geod´esicas
3. Algunas aplicaciones inform´aticas para la geometr´ıa
4. Otros enlaces interesantes

159
159
159
160
160
161
162
163
165
168
170
171

Bibliograf´ıa

173

´
INTRODUCCION
´
Estos
son unos apuntes sobret´ecnicas b´asicas de Geometr´ıa Diferencial. Incluyen las nociones que hemos considerado m´as importantes acompa˜
nadas de algunos ejemplos y problemas que creemos que
adem´as de facilitar la comprensi´on de los conceptos resaltan aquellos
aspectos m´as interesantes. Se abordan pausadamente algunos resultados elementales, aunque no por ello se deja de hacer referencia a otros
teoremas m´as importantesincluyendo bibliograf´ıa adecuada para su estudio. Intentamos que el lector asimile bien las primeras nociones y sus
propiedades y adem´as hemos seleccionado unos contenidos que puedan
presentarse y estudiarse en un periodo breve de tiempo.
La Geometr´ıa Diferencial es una t´ecnica que, mediante m´etodos diferenciales, da respuesta a numerosos problemas matem´aticos y adem´as
se puede completar...