Geometria Diferencial

GEOMETRÍA DIFERENCIAL
MANUEL CURREA
614101008
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
29 de junio de 2012

2

Índice general

I

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Curvas en el Espacio

7

Parametrización de Curvas
Diferenciación Vectorial . .
Longitud de Arco . . . . . .
Fórmulas de Frenet-Serret .

II

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Super…cies en el Espacio
Super…cies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planos Osculador, Normal y Recti…cante . . . . . . . . . . .

9
11
14
15

31
33
35

3

ÍNDICE GENERAL

4

jj

ÍNDICE GENERAL

5

Introducción

El presente documento se realiza con el …n de demostrar lasu…ciencia en el curso de Geometría Diferencial, que imparte la Fundación
Universitaria Konrad Lorenz como parte de su programa académico
de pregado en Matemáticas. Repasaremos los conceptos básicos de
Geometría Diferencial, haciendo énfasis en el desarrollo de ejemplos.
Las temáticas desarrolladas fueron sugeridas por la profesora Jenny Carvajal Caminos. El trabajo ha sido apoyado por el
profesorLeonardo Jimenez Moscovitz, quien sugirió los textos y
motivó el desarrollo y presentación del presente escrito.
Muchas gracias por el apoyo brindado, espero que este trabajo
sirva también como ayuda a los próximos estudiantes del curso de
Geometría Diferencial.
Agradezco al personal docente y administrativo de la facultad de
Ingenierías y Matemáticas de la Fundación, por todo su apoyo para
laelaboración de estos escritos. Muchas gracias por la comprensión
al querer acelerar mi proceso de aprendizaje con miras a obtener el
título de Matemático en tan prestigiosa institucion.

MANUEL CURREA

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ÍNDICE GENERAL

Parte I

Curvas en el Espacio

7

9

El problema de describir el movimiento de una partícula se puede
modelar con funciones que dependan del tiempo, para efectos prácticos se suele usarel término parámetro, para el tiempo y al movimiento
se le llama trayectoria, entonces una trayectoria depende del tiempo y
no es más que una función. En esta sección se introducen los términos
básicos de las trayectorias y curvas en el espacio.

Parametrización de Curvas
De…nición 1 Una trayectoria en Rn es una aplicación c : [a; b] !
Rn ; si n = 2 es una trayectoria en el plano y si n = 3 esuna
trayectoria en el espacio. La colección C de puntos de c(t); conforme t varía en [a; b]; se denomina curva, y c(a); c(b) son sus puntos extremos. Se dice que la trayectoria c parametriza la curva C:
También decimos que c(t); describe C conforme t varía.
Si c es una trayectoria en R3 ; podemos escribir c(t) = (x(t); y(t); z(t))
y llamamos a x(t); y(t) y z(t); funciones componentes de c: Formamosde manera análoga las funciones componentes en R2 o, en general, en
Rn :

Ejemplo 1 Hallar una parametrización para C : x2 + y 2 = 1

10

y

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

-0.4
-0.6
-0.8
-1.0

Sabemos que en el plano es la imagen de la trayectoria c : R ! R2 ;
c(t) = (cos t; sin t); 0 t 2 :
Notemos que la imagen es el círculo unitario, y latrayectoria
c1 (t) = (cos 2t; sin 2t); 0
t
; tiene la misma imagen, entonces
diferentes trayectorias puden parametrizar la misma curva.

Ejemplo 2 Hallar una parametrización para y = x3

3x

11

y
3

2

1

-1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

x

-1

-2

si tomamos x = t; y = t3
c(t) = (t; t3 3t); 1 t 1:

3t; tenemos una parametrización

DiferenciaciónVectorial
De…nición 2 (Vector Velocidad) Si c es una trayectoria y es diferenciable, decimos que c es una trayectoria diferenciable. La velocidad de c en el tiempo t se de…ne mediante c0 (t) = l m

h!0

c(t+h) c(t)
:
h

Normalmente trazamos el vector c0 (t) con su inicio en el punto c(t):
La rapidez de la trayectoria c(t) es s = kc0 (t)k ; la longitud del vector
velocidad. Si c(t) = (x(t); y(t)) en...