Geometria Esferas Ejercicios Resueltos

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA

GRUPO N° 4
Tema: Superficies de esferas
Integrantes:
* Dennys Sarango
* Edgar Proaño
* Darío Vizcaíno
Profesor:
Ing. Miguel Báez
ESFERA

DEFINICION: Es un sólido geométrico que se genera cuando una semicircunferencia gira 3600 sobre el eje Y a mas o menos 3000rpm
Eje Y
360O
R
Semicircunferencia

Radio de laesfera
Giró de 3600 sobre el eje Y a 3000rpm



COMENTARIO:
El radio de la esfera es el mismo radio del círculo que se observa cuando a la esfera se la ve desde una perspectiva frontal.
Si atamos de los extremos o polos a un semicírculo y hacemos girar podemos observar la formación de una esfera con radio y diámetro igual al del semicírculo

SUPERFICIE DE UNA ESFERA:
La superficiede una esfera viene dada por la formula
S esfera = 4πR2

DEMOSTRACION
Eje Y
R
h
a
h = altura o distancia entre A ´ y C´.
R = Radio de la esfera.
a = apotema del Δ AOB
n = BC = BA = lado del polígono

0
A
B
C
n
n
A´
C´



La proyección de la poligonal en el eje Y.

S ABC 3600 xy = 2πa x h

Longitud de la circunferencia inscrita en la poligonal
Superficiegenerada por la diagonal regular que gira 3600xy

ENTONCES:
S ABC 3600 xy = 2πa x h
S esfera = 2π R x 2R
S esfera = 4πR2 lqqd.

a→ R esfera
h → 2r esfera

Si n →

COMENTARIO
Si n tiende al infinito la apotema del triangulo inscrito en el polígono tiende a ser el radio de la esfera y h a ser el diámetro o dos veces el radio de la esfera; entonces sustituimos el valor dea por R y h por 2R
En la ecuación. S ABC 3600 xy = 2πa x h
Además S ABC 3600 xy vendría a ser la superficie de la esfera.

ZONA ESFERICA
Eje Y
r1
h
A
B
C
D
01
02
R
r2
0
Es la superficie esférica comprendida entre dos secciones paralelas.

S zona esférica ///= 2πRxh
2πR = longitud de la circunferencia máxima de la esfera (0 ;R)
R = radio de la esfera
h = altura entrelas dos secciones o cirulos (O1; r1) y (02; r2).

COMENTARIO
La superficie de una zona esférica es igual al producto de la longitud de la circunferencia máxima de la esfera; por la altura comprendida entre las dos secciones

CASQUETE ESFERICO
Es la superficie de la esfera que queda luego de hacer una sección en la esfera

S casquete //= 2πRxh
R = radio de la esfera
h = altura entrela sección o circulo (01 ;r1) y el polo de la circunferencia (C).
Eje Y
r1
h
A
B
01
R
0
c
Polo de la circunferencia

Nota:
Polo es cualquier de los extremos de rotación de una esfera o cuerpo

COMENTARIO:
La superficie de un casquete es igual al producto de: la longitud de la circunferencia máxima de la esfera, por la altura comprendida entre la sección y un polo decircunferencia

1
EJERCICIOS

H) R esfera = 10 u
S casquete = 15 S total
T) S sección =?

1. S total =4π x (R esf)2
S total =4π(10)2
S total =1256,64 u2
S casquete = 15 Stotal
S casquete = 1256,64 u25
S casquete = 251, 33 u2

2. S casquete = 2π x (Resfera) x (h casquete)
251, 33 u2= 2π x (10) x (h casquete)
h casquete = 4 u

3. CF =h casquete = 4 u
OC = R esfera = 10 u
OF = 10 – 4
OF = 6 u

4. OB = OC = 10 u
FB 2 = OB 2 - OF2
FB = 102- 62
FB = 8 u = R sección

5. S sección = π (R sección)2
S sección = π 82
S sección = 201,06 u2
COMENTARIO:
La sección que se interseca con la esfera forma una circunferencia, por tanto la superficie de la sección será igual a la superficie de la circunferencia


2H) R esfera = 10 u
S sección =200 u2
T) S casquete= ?

1. S sección = π (R sección)2
200 u2 = π (R sección)2
R sección = 7,97 u
AC = 7,97 u

2. OA = R esfera = 10 u
OC 2 = OA 2 - AC2
OC = 102- 7,972
OC = 6,03 u

3. OD = OA = 10 u
CD = OD – OC
CD = 10 – 6,03
CD = 3,97 u = h casquete

4. S casquete = 2π x (Resfera) x (h casquete)
S casquete = 2 π...