Geometria Euclideana

Geometría Euclideana

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Unidad VI. Circunferencias y círculos
Sobre una circunferencia dibuje: a) Una cuerda b) Una secante c) Una tangente d) Un radio e) Un ángulo central f) Un ángulo inscrito g) Un ángulo semi inscrito h) Un ángulo circunscrito

Definición: Medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo central que lo intercepta entre sus lados Demostrar cada uno de lossiguientes teoremas: 1. “En una circunferencia, ángulos centrales iguales son subtendidos por cuerdas iguales” 2. “La perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda, bisecta a la cuerda y al arco comprendido por ella” 3. “Si en una circunferencia dos cuerdas cualesquiera equidistan de su centro, entonces las cuerdas son congruentes”. 4. “Si en una circunferencias dos cuerdas sondesiguales, entonces la mayor cuerda dista menos del centro que la otra” 5. 6. “El ángulo formado por una recta tangente y el radio que va al punto de tangencia, es recto” “Si desde un punto exterior a una misma circunferencia se trazan dos tangentes, entonces los segmentos tangentes determinados por el punto exterior y los puntos de tangencia son congruentes. Corolario: “Si los cuatro lados de uncuadrilátero cualquiera son tangentes a una circunferencia, entonces la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados. 7. “Si dos circunferencias son secantes entre sí, la línea de centros es mediatriz de la cuerda común a ambas circunferencias” 8. “El valor del ángulo inscrito es igual a la mitad del valor del ángulo central que corresponde al arco dado, y por tanto a la mitaddel arco interceptado”. Corolario: “La medida del ángulo inscrito en una semi circunferencia es igual a 90°”. Corolario: “Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en un círculo, son suplementarios”

Secciones D01 y D04

Ciclo escolar 2011-A

Geometría Euclideana

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9. “En un círculo, dos paralelas interceptan arcos iguales 10. “El valor del ángulo semi-inscrito es igual a lamitad del arco interceptado entre sus lados” 11. “El valor del ángulo con vértice fuera de la circunferencia y formado por dos secantes es igual a la semidiferencia de los valores angulares de los arcos comprendidos entre sus lados” 12. “El valor del ángulo circunscrito es igual a la semi-diferencia de los valores angulares de los arcos comprendidos entre sus lados.

Aplicaciones.
13. Doscircunferencias no congruentes son tangentes externamente en un punto T. Dos secantes que pasan por T, intersecan a las circunferencias en los puntos A, B, C y D. Demuestre que el cuadrilátero ABCD es un trapecio.

14. Dos circunferencias no congruentes se cortan en G y H. Demostrar que la recta GH biseca a las tangentes comunes.

15. Dos cuerdas congruentes se intersecan dentro de una circunferencia.Demuestre que el cuadrilátero con vértices en los extremos de estas cuerdas es un trapecio isósceles.

16. A y B son puntos cualesquiera de una circunferencia; C es el punto medio del arco AB, D es un punto cualquiera del arco BA y F es el punto de intersección de los segmentos AB y CD. Demuestre que los ángulos DFB y DAC son congruentes.

17. Se tiene un ángulo semi inscrito en unacircunferencia. Demuestre que el punto medio del arco interceptado equidista de los lados el ángulo. Para cada una de las siguientes figuras, determine las medidas de los ángulos y arcos que se indican:
18. ∡BRQ = 68° y ∡RQC = 74° Calcule: ∡DBR = 38° ∡BAQ = 44° ∡BQR = 38°

Secciones D01 y D04

Ciclo escolar 2011-A

D O

B ángulo circuns crito

Geometría Euclideana

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D

B A R 68°
Oángulo s emi ins crito A

angulo ins crito A

74° C

Q

B

D O C B O C

13. ∡DEB=90° y
A

Calcule

D

85°
C O

D
A B

B ángulo circuns crito

C

O

D

D

B A
CASO I

14.

es tangente y ∡QCR=126° R O 68°
Q P 74°

Calcule: ∡PCQ = 180-126 = 54° A
Q
angulo ins crito

∡RCS ángulo s emi = 54° ins crito ∡PQS = 90°
B

C P

A

A O M

∡PRS = ½(126)= 63°...