Geometria Euclidiana y No Euclidiana

GEOMETRIA EUCLIDIANA

Ciencia descrita por el matemático Euclides, maestro de matemáticas de Alexandria (durante la gubernatura de Ptolomeo) o por otros medios también conocido como el bibliotecario principal en la biblioteca de Alexandria donde tenia acceso a las mejores mentes del mundos antiguo, de las que se baso para poder crear sus libros dentro que de ellos se encuentra el que mas sobresalió el libro titulado “Elementos” ( donde postulo todo sobre la geometría euclidiana ), dejando al lado las aportaciones que se hicieron posteriormente (desde Arquímedes hasta Steiner ) ; por lo tanto esta durante mas de veinte siglos fue considerada como la base de los conocimientos matemáticos en todo el mundo y que todavía hoy se toma como fundamento de los recursos de geometría de laenseñanza media superior.
Este trabajo fue hecho por mandato de Ptolomeo gobernador de esa época, con el propósito de mejorar todos los conocimientos que ya se tenían sobre las matemáticas anteriormente.
La geometría euclidiana está basada en el espacio tridimensional, que corresponde a nuestras ideas intuitivas sobre cómo es el espacio. No es una necesidad lógica sino una propiedad aparentementeobservada del mundo físico.
La contribución principal de Euclides fue un acercamiento axiomático, que implicaba las declaraciones básicas llamadas axiomas que se toman para ser verdaderas sin prueba.

Euclid describió cinco postulados:
Dos puntos se pueden ensamblar por una recta.
Cualquier segmento de recta se puede extender indefinidamente.
Dado cualquier recta segmento, un circunferenciase puede dibujar teniendo el segmento como radio y una punto final como centro.
Todos los ángulos rectos son congruentes.
Si una línea recta que corta a otras dos rectas forma, de un mismo lado con ellas, ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, entonces las dos últimas rectas (prolongadas indefinidamente) se cortan del lado en que la suma de los ángulos es menor que dos recto
Sidos rectas intersecan un tercero de una manera tal que la suma de los ángulos internos en un lado sea menos de dos ángulos rectos, después las dos rectas deben intersecarse inevitable en ese lado si están extendidas suficientemente lejos.
El quinto postulado es realmente muy oscuro, lo cual podría deberse a la traducción; la siguiente es una redacción más clara:
Si a un mismo lado de una rectaque corta a otras dos, se forman ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, entonces esas dos rectas se cortan de ese lado, al ser prolongadas indefinidamente.

También se puede sacar a conclusión que los postulados deducidos en axiomas serian los siguientes:
El punto. ( intersección de dos rectas y no tiene dimensión)
La recta. (intersección de dos planos, es infinita, tiene una soladimensión, esta tiene dos sentidos)
Plano. (determina una posición en el espacio, tiene dos dimensiones [longitud y anchura])

Un ejemplo podría ser, la suma de los ángulos de un triángulo son siempre 180° en la geometría Euclidiana, mientras que en la geometría hiperbólica, la suma es siempre menor a 180° y la diferencia es proporcional al área del triángulo


Omisiones de EuclidesAlgunos de los errores de Euclides fueron los de omitir al menos dos postulados que serian los siguientes:
dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan en dos puntos. (Euclides lo utiliza en su primera construcción)
la segunda seria la de que dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos comprendidos también iguales, soncongruentes (afirmación equivalente al concepto de movimientos, que Euclides usa para su teorema numero cuatro sin definir explícitamente).



Terminología actual
En términos actuales, estos postulados podrían entenderse así: el primero y el tercero, al afirmar la posibilidad de trazar rectas y círculos, apuntan directamente a la estructura subyacente. Hoy en día, la estructura más natural que hace...