Geometria Euclidiana

Definición 51: (Razón) Razón es el cociente entre dos cantidades medidas con la misma unidad. La razón entre las cantidades a y b se nota

a ó a : b a es el antecedente y b es el consecuente. b
a c = b d

Una razón es una fracción y como tal se puede simplificar, amplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir. Definición 52: (Proporción) Una proporción es la igualdad de dos razones.proporción. También puede expresarse así: a : b :: c : d es una

a, b, c y d son los términos de la proporción a y d se denominan extremos de la proporción. b y c son los medios de la
proporción. Definición 53: (Media proporcional) En una proporción en la que los medios son iguales, el medio común se le denomina media proporcional entre los dos extremos. Ejemplo. En la proporción

a b = b es mediaproporcional entre a y c . b c
Teorema 59 (Teorema fundamental de la proporciones) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Si entonces: a × d = b × c . Corolario 1: La media proporcional entre los números

a c = b d

es una proporción,

p y q es

pq .

Corolario2: Si en una proporción los antecedentes son iguales, entonces también son igualeslos consecuentes. Teorema 60: ( Propiedades de las proporciones) Si a)

a c = , entonces: b d

a b = , es una proporción c d b d b) = , es una proporción a c a±b c±d c) = , es una proporción b d a+c a c d) = = b+d b d
e) En una serie de razones iguales

a a1 a 2 = = ... = n entonces b1 b2 bn

a1 + a 2 + ... + a n a1 a 2 a = = = ... = n . b1 + b2 + ... + bn b1 b2 bn
Definición 54(Segmentos proporcionales) Sean Se dice que los puntos M y N dividen a

AB y CD tales que M ∈ AB y N ∈ CD . AB y CD en segmentos proporcionales
sii

m( AM ) m( AN ) AM AN = ó mas sencillamente = . MB NC m( MB) m( NC )
Teorema 61: Si tres o más rectas paralelas determinan segmentos iguales sobre una transversal, entonces determinan segmentos iguales sobre cualquier otra transversal. Teorema 62: Todarecta paralela a unos de los lados de un triángulo que corta a los otros dos lados entonces divide a éstos en segmentos proporcionales.

Teorema 63: Dos lados de un triángulo son proporcionales a los segmentos que en ellos determina una paralela al tercer lado. Teorema 64: (Teorema de Thales) Los segmentos determinados por tres o más paralelas sobre dos transversales, son proporcionales.Definición 55 (División armónica) Sean A, B puntos distintos, se dice que C y D dividen armónicamente a

C ∈ int AB y D ∈ ext AB ,

( )

( )

AB , si

CA DA = . CB DB

Teorema 65: La bisectriz de un ángulo cualquiera de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados. Teorema 66: ( Recíproco del anterior) Si una recta pasa por el vértice de un triángulo ycorta interiormente al lado opuesto dividiéndolo en segmentos proporcionales a los otros dos lados, entonces la bisectriz del ángulo asociado a dicho vértice hace parte de ésta recta. Teorema 67: La bisectriz del ángulo exterior de un triángulo, cuando no es paralela, divide exteriormente al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.

SEMEJANZA DE TRIANGULOS
Definición 56(Semejanza de triángulos) Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos homólogos respectivamente congruentes y sus lados respectivos proporcionales.

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A ≅ M , B ≅ K,C ≅ H  ∆ABC ≈ ∆MKH ⇔  y  AB BC AC  MK = KH = MH 
Observación: lados: La definición anterior se extiende a polígonos de n

1)∠A ≅ ∠A' , ∠B ≅ ∠B' , ∠C ≅ ∠C ' , ∠D ≅ ∠D' , ∠E ≅ ∠E '  AB BC CD DE EA ABCDE ≈A' B' C ' D' E ' ⇔  2) = = = =  A' B' B' C ' C ' D' D' E ' E ' A' 
. Observación: congruencia. a. La congruencia implica la semejanza pero la semejanza no implica la

b. La semejanza es una relación de equivalencia, es decir, verifica las tres propiedades de equivalencia: 1) Es reflexiva, 2) Es simétrica, 3) Es transitiva. LEMA: Toda paralela a un lado de un triángulo que corte a los otros...