geometria euclidiana

La geometría euclidiana,[1] euclídea o parabólica[2] es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.

También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometríaes euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides. Ésta denominación está cada vez más en desuso, debido a la pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma.

En ocasiones los matemáticos usan las expresiones geometría euclídea o geometría euclidianapara englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o de geometría clásica.II. LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA. LO QUE NOS ENSEÑARON EN LA ESCUELA

EL MATEMÁTICO griego Euclides, que vivió alrededor del año 300 a. C., escribió los Elementos, una de las obras más conocidas de la literatura mundial. En ella se presenta demanera formal el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Los teoremas que nos enseña Euclides son los que generalmente aprendemos en la escuela. Por citar algunos de los más conocidos:

a) La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°;

b) En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa esigual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento, por ejemplo en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego es muy útil en las matemáticas.

Inspirados por la armonía de lapresentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea círculos y combinaciones de círculos.

Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tienetamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene ancho, etcétera.

En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene ancho, por lo que tiene dimensióndos. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres. De hecho, en la geometría euclidiana las únicas dimensiones posibles son las que corresponden a los números enteros: 0, 1, 2 y 3.

En el transcurso del desarrollo de este libro nos estaremos refiriendo a diversas características de las figuras acerca de las que trata la geometría de EuclidesII. EJEMPLOS DE ALGUNAS COSAS RARASUNA situación que nos parece común es medir alguna longitud; como la de una costa, entre dos puntos A y B (figura 1).




Figura 1. ¿Cuál es la longitud de la costa entre los puntos A y B?

Una manera de hacerlo sería medir la longitud de una línea recta que une A con B (figura 2). Sin embargo, la costa es, en general, irregular, por lo que es claro que su longitud será mayor que lade la línea recta entre sus dos puntos extremos. Podríamos ahora tomar como unidad una barra arbitraria de longitud H, por ejemplo. Para medir la longitud de la costa llevaríamos esta barra a lo largo de la costa (figura 3) y contaríamos las veces que la barra cabe a lo largo de la costa desde A hasta B. A este número, denotado por L1, le llamamos la longitud de la costa.

Nos damos cuenta...