Geometria Fractal

Uno de los procedimientos para caracterizar e incluso para clasificar los objetos fractales consiste en atribuir a cada uno de ellos una cantidad numérica, la dimensión fractal.

Para realizar estaatribución, exigiremos a la cantidad numérica correspondiente, que satisfaga algunas propiedades que contribuirán a dotar de credibilidad al citado parámetro.


REQUISITOS DE YAMAGUTI Losrequerimientos apuntados por Yamaguti y otros en “Mathematics of Fractals”, referidos a subconjuntos de Rn, y considerados como una relación de “mínimos” a satisfacer por cualquier concepto dedimensión, son los siguientes:

(a) Para conjuntos constituidos por un solo elemento {a}, la dimensión deberá ser 0. Para el intervalo unidad [0,1], el valor deberá ser 1.

(b) Carácter monótono: Si XÌY,la dimensión de X deberá ser menor o igual que la dimensión de Y.

(c) Estabilidad numerable: Sea Xj una sucesión de conjuntos cerrados de Rn. Entonces,


(d) Invariancia: Para algunaclase de aplicaciones y de Rn en Rn (homeomorfismos para la dimensión topológica)



CUANTIFI-
CACIÓN DE CONJUNTOS Una de las interpretaciones de la dimensión, posiblemente la masnatural, está relacionada con la capacidad de los objetos para ocupar el espacio euclidiano en el que se encuentran sumergidos. Dicho de otra forma, la dimensión ayudará en la determinación delcontenido o medida de un conjunto, en particular de los conjuntos fractales.

Así, cuantificar fractales será definir, por algún procedimiento, la proporción del espacio físico en el que se inscriben quees llenado por ellos.

Estableceremos distintos conceptos de dimensión que, por otra parte, hacen uso de algunos objetos euclidianos (conjuntos abiertos, cerrados, segmentos, bolas, etc) y los pasosa límite correspondientes.

Encontraremos una diferencia fundamental con los objetos euclidianos:

Teniendo en cuenta que se cumple la propiedad (4) establecida al tratar el concepto de objeto...