Geometria Hiperbolica

La geometría hiperbólica (o lobachevskiana) es un modelo de geometría que satisface sólo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos delos teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclidiana y lageometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante:
* La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
* La geometríahiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
* La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvaturapositiva
El axioma de Bolyai, equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice que «dada una recta r y un punto P externo a ella, hay una y sólo una recta que pasa por P queno intersecta a 'r''». Comúnmente, la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de "paralela" a través de P.
En geometría hiperbólica, este postulado resulta falso porque siempre hay al menosdos rectas distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r. De hecho para la geometría hiperbólica es posible demostrar una interesante propiedad: hay dos clases de rectas que no intersectana la recta r. Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r. Considere la recta l que pasa por P, tal que l no intersecta a r y el ángulo theta entre PB y l (en sentidocontrario a las manecillas del reloj, desde PB) es lo más pequeño posible (i.e. cualquier ángulo más pequeño que theta, forzará a la recta a intersectar a r). Esta (l) , es llamada recta hiperparalela (osimplemente, recta paralela) en la geometría hiperbólica.
En forma similar, la recta m que forma el mismo ángulo theta entre PB y sí misma, pero ahora en sentido de las manecillas del reloj desde...