Geometria No dezcriptihva

¿Que es la geometr´a no conmutativa?
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por
Marta Macho Stadler, Universidad del Pa´s Vasco-Euskal Herriko
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Unibertsitatea

... Einstein was always rather hostile to quantum mechanics. How can
one understand this? I think it is very easy to understand, because Einstein had been proceeding of different lines, lines of pure geometry. He
had been developing geo- metrical theories and hadachieved enormous
success. It is only natural that he should think that further problems of
physics should be solved by further development of geometrical ideas.
How to have a × b not equal to b × a is something that does not fit in
very well with geometrical ideas; hence his hostility to it...
P.A.M. Dirac, The Mathematical Intelligencer 11 (1989) 58.
La Geometr´a no conmutativa se apoya enlos siguientes hechos esenciales:
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1.- los espacios usados por los f´sicos son no conmutativos en muchos casos:
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(i) en Mecanica Cuantica, donde Heisenberg reemplaza el algebra de funciones so´
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bre el espacio de fases de la Mecanica Clasica, por un algebra no conmutativa;
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(ii) en F´sica del Estado Solido (trabajos de Bellissard), el espacio de las energ´ası
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ıimpulsion de un tal sistema se vuelve no conmutativo;
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8. ¿Qu´ es la geometr´ no conmutativa?
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(iii) en F´sica de Part´culas Elementales (para el modelo de Weinberg-Salam), se
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reemplaza la geometr´a del espacio-tiempo usual (una variedad de dimension
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4) por la geometr´a no conmutativa, “desdoblando” el espacio-tiempo;
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2.- existen muchos ejemplos deespacios que surgen de manera natural (espacios

de universos de Penrose, espacios de representaciones irreducibles de un grupo

discreto, espacios de hojas de una foliacion, grupos cuanticos, ...), y para los cuales
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las herramientas clasicas de matematicas no son adecuadas, pero que corresponden
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de una manera muy natural a un algebra no conmutativa;
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3.- es posiblereformular los instrumentos clasicos de la Matematica (medida, topolo´
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g´a, calculo diferencial, calculo diferencial metrico, ...), en terminos algebraicos e
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hilbertianos, de modo que su marco natural se transforme en no conmutativo; en
esta teor´a general, el caso conmutativo no esta aislado.
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1. El mundo real no es conmutativo
La conmutatividad no es una propiedadadquirida en el mundo real. Por ejemplo,

cuando nos levantamos por la manana, no es demasiado importante el orden en el
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que nos ponemos el reloj o los zapatos. Pero, ¡mas vale no cambiar la disposicion
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de la ducha y el vestido!

En matematicas, a menudo, los numeros conmutan, pero no las operaciones o
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las acciones. Ademas, todas las operaciones no conmutativas no sonsimilares.
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V
eamos un ejemplo practico: imaginemos dos nav´os que levan anclas a la vez desde
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el ecuador.

(i) El primer nav´o viaja 100 millas hacia el este, despues gira y navega aun 100
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millas hacia el norte;

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(ii) el segundo barco navega 100 millas hacia el norte, despues gira y viaja 100
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millas hacia el este.

El segundo barco queda 0.32 millas al este delprimero. Pero, si se repite la misma

operacion con 1000 millas en vez de 100, el alejamiento es mas largo, alrededor de
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32 millas. La conmutatividad no puede aplicarse aqu´ a causa de la curvatura de la
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Tierra, y mas aun, el error cometido depende de la distancia recorrida...
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2. Motivacion f´sica de la geometr´a no conmutativa
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Tenemos un sistema f´sico, cuyaspropiedades queremos estudiar. Su descripcion
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se realiza por medio de ciertas observaciones del sistema.

formalismo matematico en terminos de estas observaciones.
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Deseamos obtener un

En Mecanica Clasica es necesario, para determinar la trayectoria ulterior de una
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part´cula, conocer a la vez su posicion y su velocidad iniciales. Estos datos forman
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un conjunto...